2.6 节点电压法

节点电压法的基本思想是：选节点电位为未知量，可以减少方程个数。节点电位自动满足KVL，仅列写KCL方程就可以求解电路。各支路电流、电压可视为节点电位的线性组合。求出节点电位后，便可方便地得到各支路电压、电流。

2.6.1 定义

节点电压法是以节点电位V_n为变量列写电流方程来分析电路的方法。

在电路中，任选一节点作为参考点，其余各节点与参考点之间的电压差称为相应各节点的节点电位，方向为从该独立节点指向参考节点。如图2-37所示，选下部节点为参考节点，设节点①、②、③的电位分别为V₁、V₂、V₃。

1.节点电位与支路电压的关系

支路1的电压为节点①的电位V₁，支路4的电压为节点①和节点②的电位差，依此类推，任一支路电压都可以用节点电位表示。

如图2-37所示电路中各支路电压分别为

同样，各支路电流通过支路电压可以求出，如

2.节点电压法列写的方程

观察图2-37可见，对电路中任何一个回路利用节点电压列KVL方程，每一个节点电位一定出现一次正号和一次负号。如支路1、2、6构成的回路，KVL方程为

以上说明节点电压自动满足KVL。因此节点电压法是对节点列写KCL方程，有效方程的个数等于节点数减1，即为（n-1)。

2.6.2 节点电压法的分析步骤

下面以如图2-37所示电路为例，详述节点电压法的分析步骤。

1）找到电路中所有节点，并标明序号，在电路中设定各节点电位，例如图2-37中的V₁、V₂、V₃，节点为零电位参考点。

2）在电路中，以节点电压为变量，列写图2-37中各支路电流为

列写各节点的KCL方程为

将各支路电流代入各节点的KCL方程中得

把该方程中电阻的倒数用电导G代替，整理方程最终得到

对于式（2-12）中第一个节点①的方程，假设G₁₁=G₁+G₃+G₄，G₁₂=-G₄，G₁₃=-G₃，。

其中，G₁₁表示与节点①相连的所有支路的电导之和，称为节点①的自电导或自导；G₁₂表示节点①与节点②之间的所有支路的电导之和，称为互电导或互导。互导始终为负值；G₁₃表示节点①与节点③之间的所有支路的互导之和。方程右边表示流入节点①的电源（电压源或者电流源）激发而形成的电流的代数和，称为电激流，计算时以流入节点①的电激流为正，流出节点①的电激流为负。

用同样的方法可以得出式（2-12）中节点②和节点③中的自导、互导和电激流，由此得节点电压方程的标准形式为

式中，电导G₁₁、G₂₂、G₃₃均为自导，自导项上总取正号。电导G₁₂、G₂₁、G₁₃、G₃₁、G₂₃、G₃₂均为互导，且G₁₂=G₂₁，G₁₃=G₃₁，G₂₃=G₃₂，互导项上总取负号。方程右端的为各个节点上电激流的代数和。

3）联立求解节点的电流方程，求得节点电压V₁～V₃，进而再求各支路电流I₁～I₆。

结论：对于具有n-1个节点的电路，节点电压方程的标准形式为

式中，G_ii[i=1，…，n-1]是自导，等于接在节点i上所有支路电导之和（包括电压源与电阻串联支路），自导永远为正，所以公式中G_ii前面的符号为“+”；G_ij（i≠j）是互导，等于接在节点i与节点j之间的所有支路电导之和，互导永远为负，所以公式中G_ij前面的符号为“-”；是流入节点i的电流源的电流值的代数和（包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源）。

注意：当电路不含受控源时，节点电压方程的系数矩阵为对称阵。与电流源串接的电阻或其他元件不能作为自导或互导。

节点电压法适用于节点较少的电路，尤其适用于两个节点的电路，这种情况也很常用。下面着重讨论两个节点电路的节点电压法。

2.6.3 弥尔曼定理

弥尔曼定理是指用来求解由电源和电阻组成的两个节点电路的节点电压法。因此弥尔曼定理适用于仅具有两个节点的电路。

由节点电压法方程可看到弥尔曼定理的一般形式为

式中，电导G₁₁是节点①上所有电导之和。

注意：在计算节点①上的电阻倒数之和时，不能计入与电流源串联的电阻或电导不能计入自导或互导；电激流为与节点①相连的所有电激流之和，以流入节点者为正号。

对如图2-38所示两节点电路可根据弥尔曼定理直接列写节点电压方程

进而可计算各支路电流为

对如图2-39所示两节点电路可根据弥尔曼定理列写节点电压方程为

其一般形式为

式（2-16）中的分子项即为式（2-15）中的项，当节点上电压源的正极靠近节点时，项前取正号，反之，则取负号；当电流源电流流入节点时，项前取正号，反之，则取负号。

【例2-14】 对如图2-40所示电路，用节点电压法分析节点a的节点电压及各支路电流。

解：首先，用弥尔曼定理求节点a的节点电位，可知

再由节点a的节点电压求各支路电流

【例2-15】 电路如图2-41所示，用节点电压法列写电路的电流方程。

解：节点编号如图2-41所示，选择节点作为参考点，则节点电压方程为

【例2-16】 电路如图2-42所示，用节点电压法列写电路的电流方程。（图中含有理想电压源支路）

注意：本电路的特点是没有电阻与电压源串联，这样的电压源叫作无伴电压源。针对无伴电压源的节点电压分析法有以下两种方式。

解法1：增加一个未知量

节点编号及参考节点的选取如图2-42a所示，设流过电压源的电流为I，用节点电压法列电流方程为

由于所设电流I是未知量，需增补一个方程，该增补方程用节点电压表示电压源的电压，即

解法2：巧妙地选取特殊的节点作为参考点

节点编号及参考节点的选取如图2-42b所示，此时节点①的电压等于无伴电压源的电压，节点电压方程为

比较两种方法：对含有无伴电压源的电路，列写方程的方式有两种：第一种是引入电压源电流I，把电压源看作电流源列写方程，然后增补节点电压和电压源电压的关系方程，从而消去中间变量I。这种方法比较直观，但需增补方程，往往列写的方程数多。

第二种是选择合适的参考点。通常选择电压源的负极所在节点作为参考节点，使理想电压源电压等于某一节点电压。这种方法列写的方程数少，求解简单。在一些有多个理想电压源问题中，以上两种方法往往并用。

【例2-17】 电路如图2-43所示，用节点电压法列写电路的电流方程。

解：节点编号及参考节点的选取如图所示，节点电压方程为

本题说明：

1）与电流源串接的电阻或其他元件不参与列节点电压方程，即不能出现在自导或互导中。

2）支路中有多个电阻串联时，要先求出总电阻或者总的自导或互导再用节点电压法列写电流方程。

【例2-18】 对如图2-44所示电路，求图示电路中的电流I。

解：

1）先把受控源CCVS作为一个独立电源，采用前述的弥尔曼定理求节点a间的电位，即

2）再对受控源的控制量列写增补方程，即

3）联立求解，即可得I=1.6A。

【例2-19】 对如图2-45所示电路列写节点电压方程。

解：节点编号及参考节点的选取如图所示。

1）先把受控源当作独立电源列方程，即

2）增补方程为