1.2.2　环

定义1.4　若代数的二元运算和具有如下性质,则称为一个环.

(1)对于运算构成交换群.

(2) 运算的结合律:.

(3) 运算对的分配律:且

例1.11　整数集对于数的加法和乘法构成的代数构成一个环,常称为整数环. 有理数集、实数集以及复数集对于数的加法和乘法构成的代数也分别构成一个环.

练习1.5　为全体自然数的集合,代数是否构成一个环? 其中+和分别表示数的加法和乘法.

(参考答案: 否. 提示: 不满足负元律,不能构成一个群)

常将环的运算称为 “乘法”. 虽然在环中可以进行 “加法” “减法” (“加法” 的逆运算) 和 “乘法”, 但未必能进行 “除法” —— “乘法” 的逆运算.