
1.2.3 矩阵的乘法
定义1-8 设是一个
矩阵,
是一个
矩阵,那么矩阵
与
的乘积是一个
矩阵
,记作
,其中,
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定义1-8表明,只有当左乘矩阵的列数等于右乘矩阵
的行数时,两个矩阵才能相乘。此时,乘积矩阵
的行数等于左乘矩阵
的行数,列数等于右乘矩阵
的列数,且
的
元
就是左乘矩阵
的第
行与右乘矩阵
的第
列对应元素乘积之和。
例1-5 设,
,求
。
解:因为是
矩阵,
是
矩阵,
的列数等于
的行数,所以
与
可以相乘,且乘积
是一个
矩阵,具体计算如下。
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可以发现,的列数不等于
的行数,因而
无意义。
例1-6 设,
,求
与
。
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在式(1.2)中,若将系数矩阵记作,未知数矩阵记作
,常数项矩阵记作
,则式(1.2)可以用矩阵乘积表示为
。
矩阵乘法运算的特殊性决定了它具有一些特殊性质。
矩阵乘法不满足交换律,即在一般情况下,。比如,在例1-5中,
有意义,
却没有意义;在例1-6中,
与
都有意义,且是同阶方阵,但
。由此可见,在矩阵乘法中,必须注意矩阵相乘的顺序。
定义1-9 设有两个同阶方阵与
,若
,则称方阵
与
是可交换的。
例1-7 设,求与
可交换的一切矩阵。
解:设与可交换的矩阵为
,于是有
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根据,即对应元素相等有
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解得。因此与
可交换的一切矩阵
,其中
为任意数。
尽管矩阵乘法不满足交换律,但满足如下运算规律。
性质1-1 设有矩阵及单位矩阵
,其行数与列数使得下列相应的运算有意义,
为数,则
(1);
(2);
(3);
;
(4)或简写为
。
可见,单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1在数的乘法中的作用。
矩阵乘法不满足消去律,即若且
,一般推不出
。
定义1-10 设是
阶方阵,记
,其中
为正整数,那么
个矩阵
的连乘积称为
的
次幂,记作
。
根据矩阵乘法适合结合律,可知方阵的幂满足下列运算规律。
性质1-2 设是
阶方阵,
为正整数,则
(1);
(2)。
例1-8 设,求
。
解:,其中,
,
,由于
,因此和代数中的二项式展开一样,有
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又因为及
,所以
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数的乘法满足交换律,因此给定数a、b,有等重要公式,但矩阵乘法不满足交换律,所以一般地,
,
,
。然而,当
与
可交换时,
、
、
等公式必然成立。读者可自行证明。
定义1-11 把一个矩阵的行列互换,所得到的新矩阵称为
的转置矩阵,记作
或
。
例如:列矩阵的转置矩阵为行矩阵
。
矩阵的转置满足下列运算规律。
性质1-3 设矩阵、
的行数与列数使相应的运算有意义,
为数,则
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)为对称矩阵的充要条件是
;
为反对称矩阵的充要条件是
。
例1-9 设,求
。
解:因为,所以
。
定义1-12 n阶方阵的元素按原来的位置所构成的行列式称为方阵
的行列式,记作
或
。
必须注意,只有方阵才能构成行列式。例如:方阵,而行列式
=
。
方阵行列式满足下列运算规律。
性质1-4 设为n阶方阵,
为数,则
(1);
(2);
(3)。
对于n阶方阵,
,虽然一般有
,但总有
。
例1-10 设,
都是3阶方阵,已知
,
,求
。
解:因为,所以
,因此
。