6.5 延伸的世界片超对称
玻色弦世界片作用量的推广对于包括N=1的世界片上的超对称，已经为我们提供了10-维中具有时空对称性的弦理论。鉴于这一成功，人们自然想知道从扩展世界片对称性的作用量开始，能够实现什么样的理论追求。对于弦理论，实际上我们必须要求超共形对称性，以便使引入的所有类引力场实现局域规范对称性，从而退出经典的运动方程。实现超共形对称性的可能性是非常小的。仅存在弦理论拥有共形对称性的两种可能性：一种是当N=2时，弦世界片上存在所需要的共形对称性；另一种是N=4，在这一扇区并没有给出具有物理意义的弦理论。
6.5.1 N=2理论
N=1超共形对称群已经用无限代数描述过，这种代数在左-动扇区和右-动扇区包含一个关于玻色边界条件的OSp(1,2)子代数。推广到N=2，以OSp(2,2)替代这个子代数。这意味着玻色生成子包括SO(2)≈U(1)，除了Sp(2) ≈U(1,1)。费米生成子组成一个SO(2)对偶，或者一个U(1)的复表达。具有N=2超对称的库仑规范作用量包含一个玻色坐标
，除
之外，还有一个费米坐标
（i=1,2）的SO(2)对偶物：
（6.5.1）
其明显具有SO(2)对称性，该对称性使
互相转换而抛弃了无效的X和Y。超对称荷也是一个SO(2)对偶物，正如人们从变换公式看到的：
（6.5.2）
式中，
是具有
的反对称符号。该作用量必须通过适当约束以通常方式增补。
指标μ=0,1,2,…,D-1表示时空方向，
可看作对时空中嵌入的世界片的描述，而
本质上以同样的方式进入数学。S的洛伦兹对称性恰是SO(D-1,1)，所以确定Y并不描述通常意义上的额外维度。它可能是理论上至关重要的微妙之处，但目前还说不清楚。
现在进行数学分析。式（6.5.1）能够更简洁地写成复坐标：
（6.5.3）
的形式，后者恰是D=2时的狄拉克旋量。现在有
（6.5.4）
式中，已经去掉了时空指标μ。根据狄拉克超-对称参数
，整体N=2超对称变换是
（6.5.5）
下一步，我们想用再参量化不变量的形式重新表达作用量。这需要超引力坐标的多重态，由
，一个狄拉克引力子
和一个要求SO(2)对称性局域化的矢量规范场
组成。结果是
（6.5.6）
事实上，
唯一出现在它被显式显示的一项中。其运动方程为
，表达了SO(2)流的消失，它补充了遵从
和
场方程的条件
。
除局域再参量化不变量、洛伦兹不变量和超-对称性之外，式（6.5.5）具有大量另外的对称性。存在通常的外尔标度对称性：
（6.5.7）
以及N=2时的超-共形对称性：
（6.5.8）
也存在由
场：
（6.5.9）
规范的局域SO(2)对称性。这一对称性也具有手征配对物：
（6.5.10）
式中，
，也是局域对称的。这两组局域对称意味着
的分量自对偶和反自对偶，即
，像左-动和右-动的局域SO(2)规范群那种规范场一样作用。
现在考虑约束的超-维拉宿代数，这种约束产生于弦理论的量子化，我们专注于玻色开弦扇区。
坐标的模型是复振子
，满足：
（6.5.11）
类似地，对玻色子边界条件，狄拉克场
给出了复-半整数模的振子
，这类振子具有性质：
（6.5.12）
根据上述诸式，能量-动张量的傅里叶模是
（6.5.13）
超-流J的模是
（6.5.14）
而SO(2)流的模是
（6.5.15）
算符的代数是
（6.5.16）
式（6.5.15）是一个关于SO(2)群的阿贝尔卡茨-穆迪代数，它们常常被称为仿射李代数。这一类型的无穷维代数扮演着一个十分重要的角色。SO(2)流具有共形维数J=1，所以：
（6.5.17）
超流的SO(2)荷是±1，于是
（6.5.18）
（6.5.19）
维拉宿代数有N=1情况下的两倍异常，因为玻色子和费米坐标数翻了一倍，
（6.5.20）
没有双荷运算符，故
（6.5.21）
代数中最有趣的括号或许是
（6.5.22）
如同先前的弦理论，我们需要物态满足约束方程：
（6.5.23）
（6.5.24）
（6.5.25）
（6.5.26）
最后的方程意味着，具有非零U(1)荷的所有态是非物理的。这可解释为一种U(1)约束原理。现在我们通过寻找零-规范物态来寻找a和D的首选值。
考虑形式如
的态，有
（6.5.27）
（6.5.28）
这个态是零模物态，如果它被
所湮灭，则
（6.5.29）
如果
，则式（6.5.28）为0。于是首先选择a=0，这表明基态是无质量标量。于是谱线没有超光子，甚至在任何可能的GSO截断之前的情况都在考虑之列。
现在我们构建零-模态，它决定临界维数。考虑：
（6.5.30）
已知：
（6.5.31）
（6.5.32）
利用展开的超-维拉宿代数，直截了当地导出下列各式：
（6.5.33）
（6.5.34）
（6.5.35）
因此，结论是，对于
,D=2，态
是零模物态。于是，D=2正是理论的临界维数。容易证明，当D>2时存在幽灵态。
D=2是临界维数的结论意味着在光锥规范中完全不存在横向振子。因此出现了无质量标量基态仅是理论中的传播自由度这一情况，至少在这一扇区。然而，理论的量子化中的微妙之处已被指出，这一陈述可能需要修正。如果理论确实具有单一的标量模，那么这一模式必然取决于某个局域量子场理论，但是这一理论尚未确定。费米场也没有确定下来，如果有的话，应该伴随这个“标量”出现。
总之，N=2超弦结构的延伸给出了一个高度对称的量子理论和一个有趣的超-维拉宿代数的推广。它似乎不能给出弦理论的一般解释，因为临界维数是D=2，并且在这个维度上不存在弦的横向激发。或许它以其他的尚未知晓的某种方式进入物理学。
6.5.2 N=4理论
N=4理论有一个更丰富的数学结构，以及一个更糟糕的物理结果。局域SO(2)群被局域SU(2)群取代，并且存在4个局域超对称和超共形对称。物理坐标由4个
型变量和4个
型马约拉纳旋量组成。前者是SU(2)的单线态，后者是一对SU(2)的双重态。
作用量原理和对称变换可以像以前一样写下来。然而，我们将这些跳过去而直奔规范代数。维拉宿代数异常再一次倍增：
（6.5.36）
局域SU(2)代数在卡茨-穆迪代数中的结果是
（6.5.37）
有4个
算符，其变换如同SU(2)的一对倍增。于是有
（6.5.38）
这里，按照2×2泡利度规
有
（6.5.39）
我们十分感兴趣的反对易泊松括号是
（6.5.40）
算符恒等式能够从关于振子α和b的显式表达中推导出来。所以所有雅可比恒等式确定得到满足。
这一方案导致负临界维数D=-2，对超弦理论似乎没有合理的解释。