2.4　有限体积法的基本思想

有限体积法是从流体运动积分形式的守恒方程出发来建立离散方程的。

三维对流扩散方程的守恒型微分方程如下：

式中ϕ是对流扩散物质函数，如温度、浓度。

上式用散度和梯度表示如下：

将方程（2-2）在时间步长内对控制体体积CV积分，可得：

式中散度积分已用格林公式化为面积积分，为控制体的表面积。

该方程的物理意义是：时间段和体积内的变化，加上时间段通过控制体表面的对流量，等于时间段通过控制体表面的扩散量，加上时间段控制体内源项的变化。

例如，一维非定常热扩散方程为：

在时间段的控制体积内部积分形式为：

上式可写成如下形式：

式（2-6）中，是控制体面积，是体积，，是控制体宽度，是控制体中平均源强度。如图2-1所示，设P点t时刻的温度为，而时的P点温度为，则式（2-6）可化为：

为了计算式（2-7）右端的、和对时间的积分，引入一个权数0～1，将积分表示成和时刻的线性关系为：

式（2-7）可写成：

上式右端第二项中t时刻的温度为已知，因此该式是时刻、、之间的关系式。列出计算域上所有相邻三个节点上的方程，则可形成求解域中所有未知量的线性代数方程，给出边界条件后可求解代数方程组。

提示

由于流体运动的基本规律都是守恒的，而有限体积法的离散形式也是守恒的，因此有限体积法在流体流动计算中应用广泛。