2.1 光学元件的基底转换矩阵

2.1.1 基底转换矩阵及性质

光学部件由各种光学元件组成，各元件之间的方位关系如图2.1所示。各部件中的成像要素，例如曲面半径、间隔、折射率值、平面方位等，为某一固定值，或在研究期间保持不变。光学部件中可能包含光学透镜、光楔、平板反射面、球面和棱镜等元件或其他成像要素。对光学物像空间基底起转换作用的主要是对光轴进行折转的光学元件。

设任一光学部件的物空间一点为A，则像空间必有一点A′与之共轭。取物空间光轴上一点o和像空间与之对应的像点o′为基点，建立像空间坐标系：以o为原点建立直角坐标系oxyz。

物坐标系oxyz的基底单位矢量为i，j，k。x轴取光轴方向，y轴取垂直光轴并指向某一元件的特征方向，z方向根据右手定则，由x，y方向确定。与其共轭的像空间坐标系为o′x′y′z′。x′轴方向是出射光轴方向，y′的指向由光学部件中的基底元件决定，y′与y方向共轭，z′与z方向共轭。如此建立的坐标系中的o′x′y′z′平面即为oxyz平面通过光学系统理想成像的高斯像面。

物、像空间坐标系的建立便于物像点在各自空间量度。设物空间一点为A，位置用矢量表示。对应的像点A′的位置用矢量表示，和为一对共轭矢量。当物像空间坐标确定后，物像点A和A′在各自的坐标系内被唯一确定。即物坐标系oxyz内一物体，经光学部件成像，各点的坐标值（A_x，A_y，A_z）在像坐标系内有唯一的值与之对应，则整个物体的像也被唯一确定。

当物体上各点（A_x，A_y，A_z）通过光学部件变换成后，其关系为线性时，像与物相似，非线性时得畸变像。通常对位于垂直光轴截面内的物体的变换为线性，对空间物体的变换为非线性，因为纵向倍率与横向倍率不相等。

设i，j，k为物空间坐标系中oxyz轴的基底矢量，i′，j′，k′为像空间坐标系对应oxyz轴的基底矢量（图2.1），将j′矢量表示为以i，j，k为基底下的坐标投影形式，有如下关系式：

式（2-1）、式（2-2）和式（2-3）利用线性关系，写作矩阵形式：

根据基底转化关系，物坐标基底矢量与像坐标基底矢量有如下关系：

式（2-5）中，矩阵R₀为物像空间坐标的基底转换矩阵，表达式如下：

应用会聚光路时，o点和o′点为轴上物像共轭点，基底坐标是定位的。对光焦度为零的光学部件（平板玻璃、平面反射镜、棱镜和望远系统等），位于平行光路中时，物像位于无限远处，这时重要的不是位置共轭关系而是方向共轭关系。o点和o′点可取光轴上的任意位置，即物像坐标可沿光轴任意移动，物像矢量为自由矢量，用表示方向的单位矢量表示。R₀基底转换矩阵有两个主要性质。

1）R₀是正交矩阵。i、j、k和i′、j′、k′都是标准正交坐标系的基底，对于标准正交基底有：（i′，j′）=1、（j′，j′）=1、（k′，k′）=1；对应cos²（xx′）+cos²（yx′）+cos²（zx′）=1；cos²（xy′）+cos²（yy′）+cos²（zy′）=1、cos²（xz′）+cos²（yz′）+cos²（zz′）=1。（i′，j′）=0、（j′，k′）=0、（k′，i′）=0。推导出：

2）R₀矩阵行列式值为±1。对于相同手系的坐标系，R₀矩阵行列式值为+1；对于不同手系的坐标系，R₀矩阵行列式值为-1。即i、j、k和i′、j′、k′同为右手系或同为左手系时，=1。i、j、k和i′、j′、k′为异手系时，=-1。从对应的基底元件来看，例如平面镜系统或棱镜，偶次反射=1，奇次反射=-1。

2.1.2 平面和球面系统的基底转换矩阵

对于透镜及由透镜组成的共轴光学系统，入射与出射光轴重合i//i′，物像点在过光轴的平面内共轭j//j′；k//k′。故：

式（2-8）基底坐标数值由图2.2可知。平板玻璃为透镜特例，基底矩阵亦为单位矩阵。在平行光路中oo′位置任意，在会聚光路中oo′位置是确定的。

就物像坐标基底转换的作用而言，平面镜系统与棱镜系统作用相同，都可作为光学系统中对坐标基底的转换部件，实现对光轴的折转、倒像及像面更复杂的方位变换。不失一般性，对棱镜系统进行具体讨论，平面镜系统与此类似。

例题2.1：等腰屋脊棱镜D_IJ-60°的物像空间坐标基底转换矩阵

如图2.3所示，物坐标系oxyz，x为入射光轴方向，y在光轴平面内，z轴方向垂直纸面向外，z轴由右手系确定。在像坐标：x′为出射光轴方向，y′轴和z′轴由平面镜成像关系确定。一次反射可确定y′方向，由屋脊面反射知z′与z反向。将确定的物与像各坐标轴的夹角值代入公式得：

例题2.2：列曼棱镜的物像空间坐标基底转换矩阵

从图2.4中可知坐标轴之间的夹角值，代入公式可得：

同理，对于一般的平面棱镜系统，其基底转换矩阵结果见表2.1，t为光轴平面内的反射次数，β为入射光轴与出射光轴的夹角。

物坐标和像坐标经过棱镜后的变化情况，如图2.5所示。

R₀与棱镜的具体摆法及物坐标轴具体取向有关（国标中对此有规定，选取像坐标为右手系）。但在动态光学中，要解决的不只是单个棱镜问题。对某一光学系统进行研究时，相连带的问题很多，因此坐标的取向及棱镜的摆放要顺其自然，由实际需要确定，即根据该元件在系统中要完成的功能确定，从而更方便地处理组合系统的动态问题。空间棱镜的R₀求法与平面棱镜的求法相同，关键是由物像关系确定y′和z′的具体方向。

例题2.3：求空间棱镜K-90-60的物像坐标基底转换矩阵

选物坐标为右手系，按棱镜的物像共轭关系画出其光路，如图2.6所示。

由图2.6可求出物像坐标轴之间的夹角，进而可得：

这类棱镜基底转换矩阵的结果见表2.2。通常画出物像坐标共轭关系的光路图，由图中所示的坐标轴方向关系，即可求出其基底转换矩阵R₀。但对更为复杂的复合棱镜，有时不能简单地通过物像关系确定x′y′z′，这时要将其考虑为动态系统的运动过程求解。

球面反射镜的物像空间变换是镜像变换，对共轴光路的系统，其基底坐标只是x′轴的取向不同，是由光线传播方向决定的，坐标基底在空间的方位关系如图2.7所示。

在图2.7中，o点为轴上物点，o′点为轴上o的像点。当物点或像点位于无限远时，相应的空间坐标可沿光轴任意移动。当反射镜的半径r=∞时，即为平面镜。显然，对于图2.7的情况有：

对于离轴的情况，其基底坐标不再平行，相应的夹角可由入射光轴x与出射光轴x′的夹角关系确定，进而得出R₀。

2.1.3 折射棱镜及望远系统的基底转换矩阵

光楔为光学系统中常用的元件，按照其楔角是否可变分为两类：不变光楔、可变光楔。不变光楔指在使用过程中该光楔的楔角是某一常数，物像空间坐标为图2.8所示的形式。

由图2.8可知，光楔的基底转换矩阵为：

严格的平板玻璃是不存在的，因此光楔具有普遍性。可变光楔在一些动态光学系统中担任重要角色，即光楔的楔角可调整变化，常见的有旋转双光楔、球面对滑光楔和液体光楔等。

球面对滑光楔由折射率相同、半径相同的两个可相对滑动玻璃块组成，零位时相当于平板玻璃，位置错动变化后可等效为光楔（图2.9），其特点是楔角可随两块玻璃的滑动变化。

尽管基底转换矩阵为变量，但可以证明可变光楔在某一时刻处于图2.10所示的状态时，其基底转换矩阵为

式（2-15）中，θ为可变光楔的楔角；α为楔向角。θ和α都是变量。旋转双光楔是由两个楔角相等的光楔组成的，其楔角θ及楔向角α的变化是通过这两个不变光楔绕光轴相对旋转产生的，如图2.11所示。液体光楔是通过改变液体的两个被束缚表面的夹角来实现θ和α变化的。

单纯由透镜组成的望远系统，其基底转换矩阵为：

含有折转光学部件的望远系统，为折转部件的基底转换矩阵R₀。

望远系统的基底转换矩阵为：

2.1.4 级联系统的基底转换矩阵

当光学系统为多个部件串联组合时（图2.12），前一部件的输出恰为后一部件的输入，各部件的基底转换矩阵依次为R₀、R₀₂、…、。

确定oxyz与o′x′y′z′坐标系的方向关系后，可求出总基底转换矩阵R₀，级联系统的基底转换矩阵为各部件基底转换矩阵的乘积：

一般情况下，矩阵乘积的顺序不能交换。由于透镜R₀=E，组合系统的R₀主要由系统中的折转光学元件决定。

例题2.4：周视瞄准系统如图2.13所示，逐一画出物坐标经各元件的基底坐标，写出各元件的基底转换矩阵，再由各元件的基底转换矩阵求出系统的总R₀

当周视瞄准系统处于图2.13所示状态时，由物像坐标共轭关系可依次画出其空间坐标，由坐标关系可知各部件的基底转换矩阵：

这与直接由oxyz和o′x′y′z′坐标夹角关系所得结果相同。在实际问题中，主要用于对系统内部环节进行分析。物像空间基底坐标的建立提供了物像在各自空间的理想基准，为分析处理光学系统各参量变化造成的成像变化及复杂空间变换的光学系统物像关系提供了便利条件，物像坐标的空间方向关系由基底转换矩阵R₀联系起来。