2.1 位置和姿态的表示

在表示物体（如零件、工具或机械手）间的关系时，要用到位置向量、平面和坐标系等概念。首先，让我们来建立这些概念及其表示法^[11]。

2.1.1 位置的表示

一旦建立了一个坐标系，就能够用一个3×1的位置向量来确定该空间内任一点的位置。对于坐标系{A}，空间任一点p的位置可用3×1的列向量^AP表示，即：

式中，p_x、p_y、p_z是点p在坐标系{A}中3个坐标轴上的分量。^AP的上标A代表坐标系{A}。我们称^AP为位置向量。位置表示如图2-1所示。

2.1.2 方位的表示

为了研究机器人的运动与操作，不仅需要表示空间某个点的位置，还需要表示物体的方位（Orientation）^[12]。物体的方位可由某个固接于此物体的坐标系描述。为了规定空间某刚体B的方位，设置一坐标系{B}与此刚体固接。用坐标系{B}的3个单位主向量x_B、y_B、z_B相对于参考坐标系{A}的方向余弦组成的3×3矩阵来表示刚体B相对于坐标系{A}的方位。称为旋转矩阵，即：

式中，上标A代表参考坐标系{A}，下标B代表坐标系{B}。共有9个元素，但只有3个是独立的。由于中的3个列向量^Ax_B、^Ay_B和^Az_B都是单位主向量，且两两相互垂直，因而它的9个元素满足如下6个约束条件（正交条件）：

可见，旋转矩阵是正交的，并且满足条件：

式中，上标T表示转置；为行列式符号。

旋转矩阵分别绕x、y或z轴进行角度为θ的旋转变换，其变换矩阵分别为：

图2-2表示一物体（这里为抓手）的方位，此物体与坐标系{B}固接，并相对于参考坐标系{A}运动。

2.1.3 位姿的表示

前文讨论了采用位置向量表示点位置、采用旋转矩阵表示物体方位的方法。要完全描述刚体B在空间的位姿（位置和姿态），通常将刚体B与某一坐标系{B}固接。坐标系{B}的原点一般选在刚体B的特征点上，如质心等。相对参考坐标系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置向量和旋转矩阵描述。这样，刚体B的位姿可由坐标系{B}来表示，即：

当表示位置时，式（2-9）中的旋转矩阵（单位矩阵）；当表示方位时，式（2-9）中的位置向量（O为坐标系{B}的原点位置向量）。