3.3 年金的终值和现值

3.3.1 年金的概念及分类

年金（Annuity）是指每隔相等的时间间隔收付等额的款项。例如，分期付款方式赊购商品；分期向保险公司交纳保费；按直线法提取折旧；购买或发行平时还息到期还本的债券后，按期收付的利息。年金的要点是定期、等额、系列收支。这三个要点必须同时具备，才能称作年金。例如，定期不等额的系列收支就不能叫做年金；同理，等额但不定期的系列收支也不能叫做年金。

年金按收付次数和支付时间不同可分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金。

（1）普通年金是指每期期末收付的年金，又称为后付年金。

（2）预付年金是指各期期初收付的年金，又称为先付年金或即付年金。

（3）递延年金是指第一次定期、等额系列收支发生在第二期或第二期以后的年金。

（4）永续年金是指无限期支付的年金，如永久性存本取息、永久性奖金、优先股股利等。

3.3.2 年金终值的计算

年金终值是指定期、等额、系列每次收支的复利终值之和。即先对每一次收支都计算复利终值，然后将这些复利终值加起来求和。

1．普通年金终值的计算

（1）普通年金终值的计算公式。

普通年金终值的计算过程如图3-3所示。

从上图可知，普通年金终值的计算公式为

公式中，如果令A=1，则：，它表示1元年金，利率为i, n期的年金终值。式中，或[（1+i）n-1]/i是普通年金终值系数，通常用FVIFAi,n表示。由于普通年金终值系数就是FVAn/A，所以有的教材把该系数记作（F/A, i, n），也有的教材将其记作（S/A, i, n）。为了简化计算，可查普通年金终值系数表（见附表3）。

【例3-5】 某公司以30万元投资购入机器设备，预计每年年末可增加收入10万元，使用期限8年。假设年利率12%，那么8年后可增加收入的总和是多少？该方案可行否？

每年年末都增加收入10万元，8年后共增加的收入之和为

10×FVIFA12%,8=10×12.2997=122.997（万元）

8年后的122.997万元，相当于公司购买机器时的金额为

122．997×PVIF12%,8=122.997×0.4039=49.678（万元）

由于购买该机器所带来收入的现值49.678万元大于该机器的买价30万元，因此该方案是可行的。

【例3-6】 某人打算在5年后获得10万元钱，从现在起每年年末等额存入银行一笔款项。假设银行存款利率为3%，按复利计算利息，则该人每年年末应存入银行多少钱？

此题为已知普通年金终值，求年金，计算过程为

A×FVIFA3%,5=10

A=10/FVIFA3%,5=10÷5.3091=1.8836（万元）

（2）偿债基金。

所谓偿债基金，是指为了保证债务人能在债务到期时，按约偿还债务，债权人要求债务人每年年末提存相等的金额。提存的资金并不是简单累计起来，而是委托信托投资公司代其保管、投资，并获得固定的投资报酬率。由于每年年末均提存相等的金额，构成年金，所以也可以将偿债基金理解成：为了使年金终值达到既定金额F（需要偿还的债务），每年应支付的年金数额A。偿债基金的计算公式为

公式中称为偿债基金系数，与普通年金终值系数互为倒数。

【例3-7】 某企业5年后需要偿还债务100万元。该企业每年年末提存等额的偿债基金，并将其委托某信托投资公司保管、投资，已知可获得固定的投资报酬率6%。则该企业每年末应提存多少偿债基金？

A×FVIFA6%,5=100

A=100/FVIFA6%,5=100÷5.6371=17.7396（万元）

2．预付年金终值的计算

预付年金终值的计算方法有两种，两种方法都是以普通年金终值为基础而加以调整的。

（1）按普通年金终值计算。

假设，期初和期末均支付等额年金A，普通年金终值和预付年金终值的关系如图3-4所示。

将上述两图相比，可知：期初支付A的预付年金，其每期定额收支的复利终值均是期末支付A的普通年金每期定额收支复利终值的（1+i）倍。而年金终值是指每次定额收支的复利终值之和，故期初支付A的预付年金终值也就是期末支付A的普通年金终值的（1+i）倍。所以预付年金终值的计算公式为

上述公式也可以通过下列推理得出：期初支付A的预付年金可换算成期末支付A（1+i）的普通年金，而期末支付A（1+i）的普通年金的年金终值为

A（1+i）×FVIFAi,n=A×FVIFAi,n×（1+i）

它表示的是每期期末支付年金为A的普通年金终值的（1+i）倍，它应该等于期初支付A的预付年金的终值。所以可得出结论：期初支付A的预付年金终值=期末支付A的普通年金终值×（1+i）。

【例3-8】 某人计划在5年后获得10万元钱，从现在起每年年初存入银行一笔款项。假设银行存款利率3%，按复利计息，则该人每年年初应存入银行多少钱？

A×FVIFA3%,5×（1+3%）=10

A=10÷[5.3091×（1+3%）]=1.8287（万元）

【例3-9】 A=200, i=6%, n=8的预付年金终值是多少？

200×FVIFA6%,8×（1+6%）=200×9.8975×（1+6%）=2098.27

（2）按普通年金终值系数计算。

由于预付年金终值的计算公式为

上述计算公式中的叫预付年金终值系数，它和普通年金终值系数相比，期数加1，而系数减1。故可利用普通年金终值系数来计算预付年金终值系数。

现按预付年金终值系数来解答例3-9，其预付年金终值为

200×（FVIFA6%,9-1）=200×（11.4913-1）=2098.26

同样，按预付年金终值系数来解答例3-8，设该人每年年初应存入A万元，则

A×（FVIFA3%,6-1）=10

A=10÷（6.4684-1）=1.8287（万元）

3．递延年金终值的计算

递延年金终值的计算同普通年金一样，没有特殊之处。

【例3-10】 某人计划三年后每年年末存入银行10000元，则连续存5年后，应获得多少本利和？假设复利率为8%，按复利计息。

10000×FVIFA8%,5=10000×5.8666=58666（元）

4．永续年金终值的计算

永续年金是无限期收付的年金，因此无终值问题。

3.3.3 年金现值的计算

年金现值是指定期等额每次收支的复利现值之和。即先对每次定期等额收支计算复利现值，然后将这些复利现值加起来即为年金现值。

1．普通年金现值的计算

（1）普通年金现值的计算公式。

普通年金现值的计算过程如图3-5所示。

其计算公式为

上式中，如果令A=1，则表示1元普通年金，利率为i，经过n期的年金现值。式中，或叫年金现值系数，通常表示为PVIFAi,n。由于年金现值系数为PVAn/A，所以有些教材也把年金现值系数记作（P/A, i, n）。为了简化计算，可以查年金现值系数表（见附表4）。

【例3-11】 假设以10%的年利率借得40000元，投资于某个寿命为10年的项目，则每年年末至少要收回多少现金才是有利的？

此题为已知普通年金的现值，求年金，计算过程如下：

A×PVIFA10%,10=40000（元）

A=40000÷6.1446=6509（元）

【例3-12】 某企业欲购置一台设备，需一次性付款12万元，可用12年，该设备投入使用后，每年年末可增加收入2万元，该企业打算从银行借款购买该设备，年利率为8%，按复利计息。问该方案是否可行？

12年共增加收入的现值之和为

PVA12=2×PVIFA8%,12=2×7.5361=15.072（万元）

由于15.072万元大于12万元，因此该方案是可行的。

（2）年资本回收额的计算。

年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的金额。年资本回收额的计算实际上是已知普通年金现值P，求年金A。年资本回收额的计算公式为

公式中的称为资本回收系数，与普通年金现值系数互为倒数。

【例3-13】 某公司从银行取得1000万元的贷款，在10年内以年利率12%等额偿还，则每年年末应付的金额为多少？

2．预付年金现值的计算

预付年金现值的计算方法有两种，两种方法都要以普通年金现值的计算为基础。

（1）按普通年金现值计算。

假设年金均为A，复利率和期数均一样，则每期期初和期末支付等额款项A的年金现值在计算上的关系如图3-6所示。

由此可见，在年金相等（都是A）的前提下，预付年金每期定额系列收支的复利现值均是普通年金每期定额收支的复利现值的（1+i）倍。而年金现值是每期定额系列收支的复利现值之和，故在年金相等的前提下，预付年金的现值也就是普通年金现值的（1+i）倍。计算公式为

该公式成立的前提是年金和复利率、期数都相等，即期初和期末支付等额款项。

另外，该公式也可以通过下列的推理得出：每期期初支付年金A，相当于每期期末支付年金A（1+i）。这样可把每期期初支付金额为A的预付年金换算成每期期末支付年金为A（1+i）的普通年金。从普通年金现值的计算公式可知：年金为A（1+i），复利率为i，期数为n的普通年金现值为

A（1+i）×PVIFAi,n=A×PVIFAi,n×（1+i）

它表示的是每期期末支付年金A的普通年金现值系数的（1+i）倍。它应该等于年金为A，复利率为i，期数为n的预付年金的现值。因此，每期期初支付年金A的预付年金现值=每期期末支付年金A的普通年金现值×（1+i）。这一结论成立的前提是每期期初和期末支付的年金相等。

【例3-14】 A=200, i=8%, n=6的预付年金现值是多少？

200×PVIFA8%,6×（1+8%）=200×4.6229×（1+8%）=998.5464

【例3-15】 假设以10%的年利率借得40000元，投资于某个寿命为10年的项目，则每年年初至少要收回多少现金才是有利的？

此题为已知预付年金现值，求预付年金，计算过程为

A×PVIFA10%,10×（1+10%）=40000（元）

A=40000÷[6.1446×（1+10%）]=5917.98（元）

【例3-16】 某企业欲购置一台设备，需一次性付款12万元，可用12年，该设备投入使用后，每年年初可增加收入2万元，该企业打算从银行借款购买该设备，年利率为8%，按复利计息。问该方案是否可行？

12年共增加收入的现值之和为

2×PVIFA8%,12×（1+8%）=2×7.5361×（1+8%）=16.28（万元）

由于16.28万元大于12万元，因此该方案是可行的。

（2）按普通年金现值系数计算。

由于预付年金现值的计算公式为

上述计算公式中，称为预付年金现值系数，它和普通年金现值系数相比，期数减1，而系数加1。

现按预付年金现值系数来解答例3-14，其预付年金现值为

200×（PVIFA8%,5+1）=200×（3.9927+1）=998.54

同样，按预付年金现值系数来解答例3-15，设每年年初至少要收回现金A元，则

A×（PVIFA10%,9+1）=40000

A=40000÷（5.7590+1）=5918.04（元）

按预付年金现值系数来解答例3-16。

12年共增加收入的现值之和为

2×（PVIFA8%,11+1）=2×（7.1390+1）=16.28（万元）

由于16.28万元大于12万元，因此该方案是可行的。

3．递延年金现值的计算

递延年金现值的计算方法有两种。

（1）在年金所属的时间段内，把递延年金当作普通年金来计算年金现值，然后将计算出的年金现值折算为递延期期初的复利现值。上述思路的计算公式为

式中 m——为递延期；

n——年金所属的时间段。

【例3-17】 从现在起，计划4年后每年年末存入10000元，存期8年，假设按复利计息，复利率为6%。到期获得的本利和相当于现在一次性得到多少钱？

4年后连续存钱8年，相当于第4年时一次性存钱

10000×PVIFA6%,8=10000×6.2098=62098（元）

4年时一次性存钱62098元，相当于现在一次性存钱的金额为

62098×PVIF6%,4=62098×0.7921=49187.83（元）

（2）把递延期也视作年金的发生期，先计算所有期间（包括递延期和年金所属的期间）的普通年金现值；然后从中扣除视作年金（其实没有发生年金收付）的递延期内的普通年金现值。上述思路的计算公式为

下面按这种思路解答例3-17。

10000×PVIFA6%,12-10000×PVIFA6%,4

=10000×8.3838-10000×3.4651=49187（元）

4．永续年金现值的计算

由于普通年金现值的计算公式为，永续年金是永远无限期支付的年金，永续年金的支付期数n→。当n→时，（1+n）-n→0，则有。故永续年金现值的计算公式为

【例3-18】 某优先股，每年可分得股利6元/股，设年利率为6%，则该优先股的价值是多少？

优先股的价值是优先股未来现金流入的现值。优先股未来的现金流入主要是每年分得的股利，优先股每年分得的股利是相等的，而且不允许收回本金。故优先股的股利是永续年金，优先股的价值是永续年金的现值。其价值为

6÷6%=100（元/股）

【例3-19】 计划建立一项永久性奖学金，每年发放5万元，若年利率为5%，则现在应一次性存入多少钱？

5÷5%=100（万元）