第二节 数轴的概念及应用
学习目标
1. 能用数轴上的点表示有理数.
2. 用数轴理解相反数和绝对值的意义.
知识精讲
1. 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
注：① 定义中的三要素缺一不可，是数轴的核心.
② 正方向和单位长度要根据具体问题的需要来确定.
2. 数轴与有理数的关系.
（1）所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数；负有理数在原点左侧，正有理数在原点右侧.
注：数轴的原点对应的有理数是0.
（2）数轴的正方向是有理数增大的方向.
3. 数轴的画法步骤.
（1）画一条水平的直线，在直线的右端画一个指向右方的箭头，规定它所指的方向为正方向.
（2）在这条直线上确定一个点，这个点叫作原点，并用数字0来表示.
（3）选择一个适当的长度作为单位长度，从原点开始，在直线上原点的两侧，连续截取和单位长度相等的线段，可以得到多个分点.
（4）在原点右侧的各分点的下面顺次写出1，2，3，4，…；在原点左侧的各分点下面顺次写出-1，-2，-3，-4，….
注：同一数轴上的单位长度必须统一.
方法提炼
1. 数轴的应用.
（1）用数轴上的点表示数.
（2）比较两个有理数的大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
（3）用数轴解决与相反数和绝对值有关的问题.
2. 数学思想.
（1）数形结合思想. 本章中的“数”就是有理数，“形”就是数轴，由于任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，因此运用数形结合思想可解决与数轴有关的问题.
（2）分类讨论：在数轴上，解决与点有关的问题时，通常需要分类讨论.
典例精析
例题1. 在数轴上，A点和B点所表示的数分别为-2和1，若欲使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应把A点（ ）.
A. 向左移动5个单位
B. 向右移动5个单位
C. 向右移动4个单位
D. 向左移动1个单位或向右移动5个单位
【思路点拨】 此题借助数轴进行分类讨论，-2对应的点在1对应的点的左边，1的3倍是3，3在1的右边，所以A应该向右移动；-2和3之间有5个单位长度，所以应该向右移动5个单位长度.
【答案】 B
例题2. 如图1-2-1所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别为整数a，b，c，d，并且b-2a=9，那么数轴的原点为（ ）.
A. A点
B. B点
C. C点
D. D点
图1-2-1
【思路点拨】 观察数轴可知，b-a=4，b-2a=9，即可求出a，b的值，进而确定数轴的原点.
【答案】 C
典题精练
1. 图1-2-2给出的四条数轴中，错误的是（ ）.
图1-2-2
A. （1）（2）
B. （2）（3）（4）
C. （1）（2）（3）
D. （1）（2）（3）（4）
2. 下列结论正确的有（ ）个.
（1）数轴上表示-5的点距离原点5个单位长度；（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；（3）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；（4）数轴上的点都表示有理数；（5）有理数0在数轴上表示的点是原点；（6）数轴上离原点越远，表示的数越大.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 在数轴上表示-2的点离原点的距离等于（ ）.
A. 2
B. -2
C. ±2
D. 4
4. 在数轴上表示-1与-4的两点之间有理数的点有（ ）.
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 无数个
5. 有理数a与b在数轴上的对应位置如图1-2-3所示，则（ ）.
图1-2-3
A. a-b<0
B. a-b≥0
C. a-b = 0
D. a-b>0
6. 在数轴上与原点的距离等于4个单位长度的点有_____个，这样的点表示的有理数是_____.
7. 数轴上表示-3的点记为A，表示2的点记为B，那么把A点向_____移动_____个单位长度得到B点.
8. 如图1-2-4所示，A，B，C，D四点在数轴上分别表示有理数a，b，c，d，则按从小到大的顺序排列为__________.
图1-2-4
9. 如图1-2-5所示，一滴墨水洒在一条数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数有多少个？
图1-2-5
10. 表1-2-1是我国几个城市的二月份的平均气温（℃）.
表1-2-1
（1）在同一数轴上将6个数表示出来，并用“<”将6个数连接起来；
（2）根据数轴指出最高温度和最低温度分别是多少？并求出最低温度比最高温度低多少摄氏度？
中考真题
真题1. （湖北襄阳）A为数轴上表示-1的点，将A点沿数轴移动2个单位长度到B点，则B点所表示的数为（ ）.
A. -3
B. 3
C. 1
D. 1或-3
真题2. （山东菏泽）如图1-2-6所示，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中AB=BC，如果|a|>|b|>|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）.
图1-2-6
A. 点A的左边
B. 点A与点B之间
C. 点B与点C之间
D. 点B与点C之间且靠近点C或点C的右边