第二节　与三角形有关的角

学习目标

1. 理解三角形的内角、外角的概念.

2. 掌握三角形的内角和及外角的性质，并能运用性质进行简单的推理和计算.

知识精讲

1. 三角形内角和定理.

（1）定理：三角形内角和为180°.

（2）推论：直角三角形两锐角互余.

注：应用三角形内角和定理可以解决以下几类问题.

① 在三角形中，已知任意两个角的度数，可以求出第三个角的度数.

② 已知三角形三个内角的关系，可以求出其各内角的度数.

③ 求一个三角形中各角之间的关系.

④ 判断三角形的形状.

2. 三角形的外角.

（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角. 如图11-2-1所示，∠ACD是△ABC的一个外角.

注：① 外角的特征：顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三角形的一边；另一条是三角形某条边的延长线.

② 三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有6个外角. 通常每个顶点处取一个外角，因此常说三角形有3个外角.

（2）性质.

① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

② 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.

注：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证时经常使用的理论依据. 应用三角形外角的性质可以解决以下几类问题.

① 已知外角和与它不相邻两个内角中的一个，可求“另一个”.

② 可证一个角等于另外两个角的和.

③ 利用它作为中间关系式证明两个角相等.

④ 利用它证明角的不等关系.

3. 三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.

方法提炼

1. 证明角的不等关系的方法：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.

2. 在三角形里出现高，并且没有给出具体图形，一般需要分类讨论.

3. 基本的几何图形如表11-2-1所示.

注：上述结论在应用时必须证明，不能直接用.

典例精析

例题1. 如图11-2-2所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，延长DE交BC的延长线于点F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数.

【思路点拨】要求∠BDF的度数，应从三角形内角和与三角形的外角出发，若将∠BDF看成△BDF的内角，只需求∠F的度数即可；或者把∠BDF看成△ADE的一个外角，只要求∠A的度数即可.

【解法一】∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠ACB＝∠CEF+∠F，

∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，

∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°.

【解法二】∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠B＝67°，∠ACB＝74°，

∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-67°-74°=39°.

∵∠BDF=∠A+∠AED，∴∠BDF=39°+48°=87°.

例题2. 在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，求∠C的度数.

【思路点拨】在三角形里出现高，又没有给出具体图形，一般需要分类讨论，此题△ABC按锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论.

【解】分两种情况讨论.

（1）当△ABC为锐角三角形时，如图11-2-3所示.

∵BD是AC边上的高，∴∠ADB＝90°.

又∵∠ABD＝30°，∴∠A＝ADB-∠ABD＝90°-30°＝60°.

又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC+∠C＝120°.

又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°.

（2）当△ABC为钝角三角形时，如图11-2-4所示.

∵∠ABD＝30°，∴∠BAD＝60°，∠BAC＝120°.

又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC+∠C＝60°.

∵∠ABC=∠C，∴∠C＝30°.

综上所述，∠C的度数为60°或30°.

典题精练

1. 已知在△ABC中有两个角的大小分别为40°和70°，则这个三角形是（　）.

A. 直角三角形

B. 等边三角形

C. 钝角三角形

D. 等腰三角形

2. 在△ABC中，∠A＝60°，且∠B：∠C＝2：1，那么∠B的度数为（　）.

A. 40°

B. 80°

C. 60°

D. 120°

3. 若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是（　）.

A. 直角三角形

B. 锐角三角形

C. 钝角三角形

D. 等边三角形

4. 一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图11-2-5中的方式叠放，则∠α等于（　）.

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 75°

5. 如图11-2-6所示，AD⊥BC，垂足是点D，若∠A＝32°，∠B＝40°，则∠C＝________，∠BFD＝________，∠AEF＝________.

6. 在△ABC中，

（1）若∠A＝∠B+∠C，则此三角形为________三角形；

（2）若∠A>∠B+∠C，则此三角形为________三角形.

7. 如图11-2-7所示，在△ABC中，∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为________.

8. 如图11-2-8所示，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC=________.

9. 如图11-2-9所示是李师傅设计的一块模板，设计要求BA与CD相交成20°角，DA与CB相交成40°角，现测得∠B＝75°，∠C＝85°，∠D＝55°. 判定模板是否合格，为什么?

10. 如图11-2-10所示，已知在△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于点G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系，并说明理由.

中考真题

真题1. （宁夏）如图11-2-11所示，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处. 若∠A=22°，则∠BDC等于（　）.

A. 44°

B. 60°

C. 67°

D. 77°

真题2. （上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”. 如果一个特征三角形的特征角为100°，那么这个特征三角形的最小内角的度数为________.