第四节　数轴与绝对值

一、问题求解：下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一个选项符合试题要求。

1．设y=|x－a|＋|x－20|＋|x－a－20|，其中0<a<20，则对于满足a≤x≤20的x值，y的最小值是（　　）。[2009年GRK真题]

A．10

B．15

C．20

D．2

E．30

【答案】C

【解析】方法一：由于a≤x≤20，则y=x－a＋20－x＋a＋20－x=40－x，当x=20时，y取得最小值，此时y=40－x=40－20=20。

方法二：|x－a|代表数轴上点x到点a之间的距离，|x－a－20|代表点x到点（20＋a）之间的距离，由于a≤x≤20，它们之和|x－a|＋|x－a－20|=20。要使y取最小值，需让|x－20|取最小值0，此时y=20。

2．已知实数a，b，x，y满足和|x－2|=y－1－b²，则3^x＋y＋3^a＋b=（　　）。[2009年MBA真题]

A．25

B．26

C．27

D．28

E．29

【答案】D

【解析】　   　 （1）

　  　（2）

（1）和（2）相加得到：

。将代入（1）可得到，。因此。

3．设a，b，c为整数，且|a－b|²⁰＋|c－a|⁴¹=1，则|a－b|＋|a－c|＋|b－c|=（　　）。[2008年GRK真题]

A．2

B．3

C．4

D．－3

E．－2

【答案】A

【解析】由于对称性，以下假设不失一般性，即a=b，c－a=1。代入上式，|a－b|＋|a－c|＋|b－c|=2。

4．以下命题中正确的一个是（　　）。[2008年GRK真题]

A．两个数的和为正数，则这两个数都是正数

B．两个数的差为负数，则这两个数都是负数

C．两个数中较大的一个其绝对值也较大

D．加上一个负数，等于减去这个数的绝对值

E．一个数的2倍大于这个数本身

【答案】D

【解析】此题可以采取举反例法。A项，若a=5，b=－3，则a＋b=2＞0，但a和b并非都是正数；B项，若a=－3，b=5，则a－b=－8＜0，但a和b并非都是负数；C项，若a=－5，b=3，则|a|＞|b|，但并非是a＞b，而是a＜b；E项，若a=－5，则2a=－10＜a。

5．一辆出租车有段时间的营运全在东西走向的一条大道上，若规定向东为正向，向西为负向。且知该车的行驶的公里数依次为－10、6、5、－8、9、－15、12，则将最后一名乘客送到目的地时该车的位置是（　  ）。[2008年MBA真题]

A．在首次出发地的东面1公里处

B．在首次出发地的西面1公里处

C．在首次出发地的东面2公里处

D．在首次出发地的西面2公里处

E．仍在首次出发地

【答案】B

【解析】出租车每次走的距离构成一个数列，将最后一名乘客送到目的地时该车的位置为该数列的和，即－10＋6＋5－8＋9－15＋12=－1。

6．在数轴上表示－12的点与表示3的点之间的距离为（　　）。

A．9

B．－9

C．－15

D．15

E．16

【答案】D

【解析】距离为|3－（－12）|=15。

7．在数轴上A点和B点所表示的数分别为－2和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应将A点（　　）。

A．向左移动5个单位

B．向右移动5个单位

C．向右移动4个单位

D．向左移动1个单位或向右移动5个单位

E．向左移动4个单位

【答案】B

【解析】A点表示的数是B点表示的数的3倍，则A点表示的数为3，从－2到3应向右移动5个单位。

8．数轴上，从－356到720共有（　　）个偶数点。

A．360

B．178

C．538

D．539

E．540

【答案】D

【解析】从－356到720共有720－（－356）＋1=1077个数，因为两头的数都为偶数，所以偶数的个数为＋1=539（个）。

9．有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果|a－b|＋|b－c|=|a－c|，那么B点（　　）。

A．在A、C点的右边

B．在A、C点的左边

C．无法确定

D．在任意位置

E．在A、C点之间

【答案】E

【解析】要使|a－b|＋|b－c|=|a－c|成立，必须使a－b与b－c同号，于是B点应在A、C之间。

10．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图1－7所示，则a＋|a＋b|－|c|－|b－c|=（　　）。

图1－7

A．a

B．b

C．c

D．0

E．a－b

【答案】D

【解析】观察数轴可知，a＋b＜0，c＜0，b－c＜0，所以a＋|a＋b|－|c|－|b－c|=a－b－a＋c＋b－c=0。

11．已知数a，b在数轴上对应的点在原点两侧，并且到原点的位置相等；数x，y是互为倒数，那么2|a＋b|－2xy的值等于（　　）。

A．2

B．－2

C．1

D．–1

E．0

【答案】B

【解析】由题意可知，a＋b=0，xy=1，则2|a＋b|－2xy=－2。

12．在下列说法中，正确的个数是（　  ）。

Ⅰ．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示

Ⅱ．数轴上的每一个点都表示一个有理数

Ⅲ．任何有理数的绝对值都不可能是负数

Ⅳ．每个有理数都有相反数

A．0

B．1

C．2

D．3

E．4

【答案】E

【解析】Ⅳ，0的相反数是它本身。

13．在数轴上表示不等式x≥－2的解集，正确的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．以上都不正确

【答案】C

【解析】等于号用实心圆点表示。

14．如图1－8所示，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围在数轴上可表示为（　  ）。

图1－8

A．

B．

C．

D．

E．以上表示均不正确

【答案】A

【解析】由题可知，物体A的质量介于1克和2克之间。

15．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．以上表示均不正确

【答案】B

【解析】

16．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．以上表示均不正确

【答案】B

【解析】

17．解集是如图1－9所示的不等式组为（　　）。

图1－9

A．

　 

B．

　 

C．

 

D．

E．

　 

【答案】E

　  

【解析】图1－9表示的解集是。A项，　 ；B项，

    

   

；C项，　  　；D项，　 。

  　 

18．不等式的解集在数轴上表示出来是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．以上表示都不正确

【答案】A

【解析】

19．解集如图1－10所示，其用不等式表达为（　　）。

图1－10

A．x＋2＞0

B．－2x＋4≥0

C．－2x＋4≤0

D．－2x＋4＞0

E．x＋2≤0

【答案】B

【解析】图1－10表示的解集是x≤2。A项，x＞－2；C项，x≥2；D项，x＜2；E项，x≤－2。

20．不等式组的解集在数轴上表示应是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．以上表示都不正确

【答案】A

【解析】

21．不等式组的解在数轴上可以表示为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．以上都不正确

【答案】A

【解析】

22．将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．以上都不正确

【答案】C

【解析】

23．已知关于x的不等式2x－a≥－3的解集如图1－11所示，则a的值等于（　　）。

图1－11

A．0

B．1

C．－1

D．2

E．－2

【答案】B

【解析】图1－11表示的解集是x≥－1。，则。

24.a，b表示的数如图1－12所示，则|a－1|－|b－1|=（　　）。

图1－12

A．a－b

B．a＋b－2

C．2－a－b

D．－a＋b

E．a＋b

【答案】D

【解析】由图得a＜1，b＜1，因此|a－1|－|b－1|=1－a－（1－b）=b－a。

25．不等式的解集表示在数轴上为图中的（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．以上均不正确

【答案】B

【解析】原不等式的解集为－1<x≤3。

26．如图1－13所示的不等式组的解集为（　　）。

图1－13

A．x>3

B．－2＜x＜3

C．x>－2

D．－2＞x＞3

E．x<－2

【答案】A

【解析】图1－13表示的解集是即x>3。

27．下列说法正确的是（　　）。

A．两个数的差一定小于被减数

B．两个数的和一定大于这两个数

C．减去一个数等于加上一个负数

D．两个数是负数，且被减数的绝对值较大，则它们的差是负数

E．两个数相加必为正数

【答案】D

【解析】A项，如果减数为负数，则两个数的差大于被减数；B项，一个正数加一个负数，结果小于这个正数；C项，减去一个正数等于加上一个负数；E项，两个数相加的和可以是正数、负数、0。

28．的倒数是（　　）。

A．13

B．3

C．

D．－3

E．1

【答案】B

【解析】，其倒数为3。

29．下列说法错误的是（　　）。

A．的倒数是

B．的绝对值是0.6

C．的倒数的绝对值是

D．的绝对值的倒数是

E．的倒数的绝对值的倒数是

【答案】C

【解析】C项，的倒数的绝对值是。

30．下列说法错误的是（　　）。

A．－3与2的和的倒数是－1

B．3与2的倒数的和是

C．－3与2的和的绝对值是5

D．3与2的绝对值的和是5

E．－3与2的和的倒数的绝对值是1

【答案】C

【解析】C项，－3与2的和的绝对值是1。

31．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且x的绝对值等于4，则x－（a＋b＋cd）＋|（a＋b）－2|＋|1－cd|的值为（　　）。

A．5

B．－3

C．5或－3

D．2

E．1

【答案】C

【解析】由题意可知，a＋b=0，cd=1。因此x－（a＋b＋cd）＋|（a＋b）－2|＋|1－cd|=x－1＋2=x＋1。又因为|x|=4，则x=4或－4。若x=4，则上式=5；若x=－4，则上式=－3。

32．如果甲数除以乙数所得的商是负数，那么一定是（　  ）。

A．这两个数的绝对值相等而符号相反

B．甲数为负，乙数不等于零

C．甲数为正，乙数为负

D．甲、乙两数异号

E．甲数为负，乙数为正

【答案】D

【解析】只要两数异号，即可保证两数的商为负数。

33．下面说法不正确的是（　　）。

A．没有最大的有理数

B．没有最小的有理数

C．有最小的正有理数

D．有绝对值最小的有理数

E．绝对值最小的有理数为0

【答案】C

【解析】C项，没有最小的正有理数，只有绝对值最小的有理数。

34．若一个数的绝对值除以这个数所得的商是－1，则这个数一定是（　　）。

A．－1

B．1或－1

C．负数

D．正数

E．非负数

【答案】C

【解析】商是－1，说明分子、分母异号，分子是绝对值，肯定为正，所以分母一定是负数。

35．如果两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数（　  ）。

A．符号相同

B．符号相反且绝对值相等

C．符号相反且负数的绝对值大

D．符号相反且正数的绝对值大

E．符号相反，但绝对值的大小不能判定

【答案】D

【解析】两个有理数的积小于零，说明这两个数异号；和大于零，说明正数的绝对值大于负数的绝对值。

36．根据“a的3倍与－4的绝对值的差等于9”的数量关系可得方程（　　）。

A．|3a－（－4）|=9

B．|3a－4|=9

C．3|a|－|－4|=9

D．3a－|－4|=9

E．3|a|－（－4）=9

【答案】D

【解析】根据题干中的数量关系的描述,可得方程为3a－|－4|=9。

37．如果两个有理数的积是正数，和也是正数，那么这两个有理数（　  ）。

A．同号，且均为负数

B．异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大

C．同号，且均为正数

D．异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大

E．同号，但符号不能判定

【答案】C

【解析】积是正数，说明两个有理数同号；和也是正数，说明两个有理数都是正数。

38．在有理数中，绝对值等于它本身的数有（　  ）。

A．1个

B．2个

C．3个

D．无穷多个

E．有限多个

【答案】D

【解析】因为非负数的绝对值都等于它本身，所以有无穷多个。

39．如果a＜0，那么a和它的相反数的差的绝对值等于（　　）。

A．a

B．0

C．－a

D．－2a

E．2a

【答案】D

【解析】a和它的相反数的差的绝对值可以表示为|a－（－a）|=2|a|=－2a。

40．的绝对值是（　　）。

A．

B．

C．8

D．－8

E．2

【答案】A

【解析】负数的绝对值等于它的相反数。

41．的倒数的相反数的绝对值是（　　）。

A．

B．

C．3

D．－3

E．以上均不正确

【答案】C

【解析】的倒数为3，3的相反数为－3，－3的绝对值为3。

42．绝对值不大于4的整数的积是（　　）。

A．1

B．0

C．576

D．－1

E．－576

【答案】B

【解析】绝对值不大于4的整数有0、1、2、3、4、－1、－2、－3、－4，这些数的积为0。

43．下列说法正确的是（　　）。

A．若a表示有理数，则－a表示非正数

B．和为零，商为－1的两个数必是互为相反数

C．一个数的绝对值必是正数

D．若|a|＞|b|，则a＜b＜0

E．若|a|＞|b|，则a＞b＞0

【答案】B

【解析】A项，有理数分为正数和负数以及0，所以－a有可能为正数或0；C项，0的绝对值是0，不是正数也不是负数；DE两项，若a、b均为正数，则a＞b＞0；若a为正数，b为负数，则a＞0＞b。

44．下列运算正确的是（　　）。

A．a²a³=a⁶

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】A项，a²a³=a⁵；B项，；C项，；E项，当a＜0时，|a|=－a。

45．下列说法不正确的是（　　）。

A．如果a的绝对值比它本身大，则a一定是负数

B．如果两个数相等，那么它们的绝对值必然相等

C．两个负有理数，绝对值大的离原点近

D．两个负有理数，大的离原点近

E．如果两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等

【答案】C

【解析】两个负有理数，绝对值大的离原点远。

46．下面结论正确的有（　　）。

①两个有理数相加，和一定大于每一个加数

②一个正数与一个负数相加得正数

③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和

④两个正数相加，和为正数

⑤两个负数相加等于两数的绝对值相减

⑥正数加负数，其和一定等于0

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

E．4个

【答案】C

【解析】只有③和④正确。①两个有理数相加，只有当这两个有理数均非负时，和才大于每一个加数；②一个正数与一个负数相加，只有当正数的绝对值大于负数的绝对值时，和才为正数；⑤两个负数相加等于两数的绝对值之和的相反数；⑥正数加负数，只有当两者的绝对值相等时，其和才等于0。

47．一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是（　  ）。

A．正数

B．非负数

C．零

D．负数

E．非正数

【答案】B

【解析】所有正数和0的绝对值都等于其本身。

48．如果a＋b＞0，且ab＜0，那么（　　）。

A．a＞0，b＞0

B．a＜0，b＜0

C．a、b异号且正数的绝对值较大

D．a、b异号且正数的绝对值较小

E．a、b同号

【答案】C

【解析】ab＜0说明a与b异号，又因为a＋b＞0，所以正数的绝对值较大。

49．绝对值大于或等于1且小于4的所有正整数的和是（　　）。

A．8

B．7

C．6

D．5

E．4

【答案】C

【解析】绝对值大于或等于1且小于4的正整数有1、2、3，它们的和是6。

50．－4与－3的和比它们的绝对值的和（　　）。

A．大7

B．小7

C．小14

D．相等

E．大14

【答案】C

【解析】（－4）＋（－3）=－7，|－4|＋|－3|=7，（－7）－7=－14。

51．一个数的绝对值小于另一个数的绝对值，则这两个数的和是（　  ）。

A．正数

B．负数

C．零

D．不可能是零

E．非负数

【答案】D

【解析】只有相反数的和才为零，而相反数的绝对值相等。

52．绝对值等于的数与的和等于（　　）。

A．

B．

C．或

D．或

E．

【答案】D

【解析】绝对值等于的数为或。如果为，则，如果为－，则。

53．如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数（　　）。

A．都是负数

B．都是正数

C．一正一负，且负数的绝对值大

D．一正一负，且正数的绝对值大

E．一正一负，但绝对值大的数的正负号不能确定

【答案】C

【解析】两个数的积为负数，说明两个数异号；和也为负数，说明负数的绝对值较大。

54．下列说法不正确的是（　　）。

A．0既不是正数，也不是负数

B．1是绝对值最小的数

C．一个有理数不是整数就是分数

D．0的绝对值是0

E．绝对值相等的两个数必相等或互为相反数

【答案】B

【解析】0是绝对值最小的数。

55．下列说法正确的是（　　）。

A．最小的整数是0

B．互为相反数的两个数的绝对值相等

C．有理数分为正数和负数

D．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等

E．1是绝对值最小的整数

【答案】B

【解析】A项，没有最小的整数；C项，有理数分为正数、负数和0；D项，绝对值相等的两个数必相等或互为相反数；E项，0是绝对值最小的整数。

56．绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（　　）。

A．7

B．－7

C．0

D．5

E．－5

【答案】C

【解析】绝对值大于2且小于5的整数有：3、4、－3、－4，它们的和为0。

57．下面说法错误的是（　　）。

A．－（－5）的相反数是－5

B．3和－3的绝对值相等

C．若|a|>0，则a一定不为零

D．数轴上右边的点比左边的点表示的数小

E．数轴上绝对值相等的数到原点的距离相等

【答案】D

【解析】D项，数轴上右边的点比左边的点表示的数大。

58．若|－5＋a|=|－5|＋|a|，则a是（　　）。

A．任意一个有理数

B．任意一个负数或0

C．任意一个非负数

D．任意一个不小于5的数

E．任意一个负数

【答案】B

【解析】由|－5＋a|=|－5|＋|a|可以判定－5和a同号或a=0。

59．已知|a|=－a，|b|=b，|a|＞|b|＞0，则下列正确的图形是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．以上都不正确

【答案】D

【解析】由|a|=－a，|b|=b知a≤0，b≥0；又因为|a|＞|b|＞0，所以a、b都不为0，且a离原点的距离较远。

60．的绝对值是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．以上均不正确

【答案】A

【解析】

61．与数轴上的点一一对应的数是（　  ）。

A．有理数

B．无理数

C．实数

D．整数

E．正数和负数

【答案】C

【解析】实数与数轴上的点一一对应。

62．如图1－14所示，数轴上A、B两点表示的数分别为1和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（　　）。

图1－14

A．－1

B．1－

C．2－

D．－2

E．＋1

【答案】C

【解析】因为点B关于点A的对称点为点C，所以线段CA的长度等于线段AB的长度，即为－1，所以点C所表示的数是1－（－1）=2－。

63．下列各式中，等号不成立的是（　  ）。

A．│－4│=4

B．－│4│=－│－4│

C．│－4│=│4│

D．－│－4│=4

E．－4=－│－4│

【答案】D

【解析】D项，－│－4│=－4。

64．下列说法错误的是（　　）。

A．一个正数的绝对值一定是正数

B．任何数的绝对值都是正数

C．一个负数的绝对值一定是正数

D．任何数的绝对值都不是负数

E．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定不是负数

【答案】B

【解析】B项，0的绝对值是0。

65．绝对值大于1而不大于3的整数的个数有（　　）个。

A．3

B．4

C．5

D．6

E．7

【答案】B

【解析】绝对值大于1而不大于3的整数有：2、3、－2、－3。

66．若a、b是有理数，那么下列结论一定正确的是（　　）。

A．若a＜b，则│a│＜│b│

B．若a＞b，则│a│＞│b│

C．若a=b，则│a│=│b│

D．若a≠b，则│a│≠│b│

E．若│a│=│b│，则a=b

【答案】C

【解析】两个数相等，绝对值也一定相等；两个数的绝对值相等，这两个数相等或互为相反数。

67．若│a│=4，│b│=9，则│a＋b│的值是（　　）。

A．13

B．5

C．13或5

D．无法判断

E．以上都不是

【答案】C

【解析】①当a=4，b=9时，a＋b=13；②当a=4，b=－9时，a＋b=－5；③当a=－4，b=9时，a＋b=5；④当a=－4，b=－9时，a＋b=－13。因此│a＋b│=13或5。

68．在数轴上，原点和原点左边的所有点表示的数是（　  ）。

A．负有理数

B．负实数

C．零和负有理数

D．零和负实数

E．零和负整数

【答案】D

【解析】数轴上的点和实数一一对应，原点处为零，原点左边的点为负实数。

69.a、b是两个实数，在数轴上的位置如图1－15所示，下面结论正确的是（　　）。

图1－15

A．a、b互为相反数

B．a＋b＞0

C．b－a＜0

D．b－a＞0

E．a－b＞0

【答案】D

【解析】A项，由a、b两点到原点的距离不同可知，a、b不是互为相反数；B项，因为a离原点的距离较远，所以a＋b＜0；C项，b在a的右边，所以b－a＞0；E项，a－b＜0。

70．若a与它的绝对值之和为0，则的值是（　　）。

A．－1

B．1

C．2a－1

D．1－2a

E．1＋2a

【答案】B

【解析】a与它的绝对值之和为0，说明a≤0，=|a－1|－|a|=1－a＋a=1。

71．已知a、b为实数，那么下列结论中正确的是（　　）。

A．若a＞b，则a²>b²

B．a＞b，则a²>b²

C．若a＞b，则a²>b²

D．若a³>b³，则a²>b²

E．若a³>b³，则a²＞b²

【答案】B

【解析】A项，若a、b均为负数，则a²＜b²；CE两项，若b为负数，且|a|＜|b|，则a²＜b²；D项，若a、b均为负数，则a²＜b²。

72．下列说法中，正确的个数有（　  ）个。

①有理数和数轴上的点一一对应

②不带根号的数一定是有理数

③负数没有立方根

④是17的平方根

A．0

B．1

C．2

D．3

E．4

【答案】B

【解析】①实数与数轴上的点一一对应；②不带根号的数不一定是有理数，比如π等；③任一实数都有一个立方根；④17的平方根为，因此是17的一个平方根。

二、条件充分性判断：要求判断每题给出的条件（1）和（2）能否充分支持题干所陈述的结论。A、B、C、D、E五个选项为判断结果，请选择一项符合试题要求的判断。

A．条件（1）充分，但条件（2）不充分。

B．条件（2）充分，但条件（1）不充分。

C．条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分。

D．条件（1）充分，条件（2）也充分。

E．条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分。

1.a|a－b|≥|a|（a－b）。（　　）[2010年真题]

（1）实数a＞0。

（2）实数a、b满足a＞b。

【答案】A

【解析】|a－b|≥a－b一定成立，当a＞0时，a|a－b|≥|a|（a－b）即成立。因此，条件（1）充分，条件（2）不充分。

2．f（）有最小值2。（　  ）[2008年MBA真题]

（1）。

（2）f（）=|x－2|＋|4－x|。

【答案】B

【解析】可将绝对值的意义看成是数轴上两点间的距离。条件（1），f（）几何意义为点到点的距离和点到点的距离之和，最小值为，不充分。条件（2），f（x）几何意义为点x到点2的距离和点x到点4的距离之和，最小值为4－2=2，充分。