12.2　课后习题详解

§1　富里埃级数

1．证明：

（1）1，cosx，cos2x，…，cosnx，…

（2）sinx，sin2x，sin3x，…，sinnx，…

是[0，π]上的正交系；但1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，cosnx，sinnx，…不是[0，π]上的正交系．

证明：（1）因

则1，cosx，cos2x，…，cosnx，…是[0，π]上的正交系

（2）因

则sinx，sin2x，sin3x，…，sinnx，…是[0，π]上的正交系

又则1，cosx，cos2x，sin2x，…cosnx，sinnx，…不是[0，π]上的正交系．

2．证明：sinx，sin3x，…sin（2n＋1）x，…是上的正交系，写出它的标准正交系

（即不仅正交，而且每个函数的平方在上的积分为1），并导出

是[0，1]上的正交系．

证明：因

则sinx，sin3x，…sin（2n＋1）x，…是上的正交系

又由得

则在上它的标准正交系为

又

则是[0，l]上的正交系．

3．设f（t）是周期为2π的方波，它在[﹣π，π]上的函数表示式为

将这个方波展开成傅里叶级数．

解：因又

则

则

4．设f（t）是周期为T的半波整流波，它在上的函数表示式为

将这半波整流波展开成傅里叶级数．

解：因

则

则

5．设f（t）以2π为周期，在[－π，π]内

把f（t）展开成傅里叶级数．

解：因

6．设f（t）是周期为2π、高为h的锯齿形波，它在[0,2π]上的函数表示式为，将这个锯齿形波展开成傅里叶级数．

解：因

则

7．将宽度为τ、高为h、周期为T的矩形波展开成余弦级数．

解：在一个周期内矩形波函数表达式为

则

8．写出如图12-1所示的周期为T的三角波在内的函数表达式，并将它展开成正弦级数．

图12-1

解：如图所示的周期为T的三角波在的函数表达式为

先把f（t）延拓成上的函数，再据题意，还必须把它延拓成奇函数，于是a₀＝a_k＝0

则

9．将f（x）＝sgn（cosx）展开成傅里叶级数．

解：因f（x＋2π）＝sgn[cos（x＋2π）]＝sgn（cosx）＝f（x），则f（x）是以2π为周期的周期函数

又

则f（x）在（－∞，＋∞）上可展为

10．应当如何把区间内的可积函数f（x）延拓后，使它展开成的傅里叶级数的性状如下：

解：因展开式中无正弦项，则f（x）延拓后应为偶函数

设f（x）延拓到内的部分为φ（x）

因展开式中偶数项的系数a_2n＝0即

则

在左端前一积分中作变量代换，令x＝π－t则

要使上式成立，则必须当时．有f（π－x）＋φ（x）＝0即φ（x）＝－f（π－x）

于是就求出了延拓后的函数在内的表达式为－f（π－x）

又延拓后的函数为偶函数，则它在的表达式为f（－x），在的表达式为－f（π＋x）

不妨设延拓后的函数为ψ（x），则

11．同上一题，但展开的傅里叶级数形状为：

解：因展开式中无余弦项，则f（x）延拓后应为奇函数

设f（x）延拓到内的部分为φ（x）

因展开式中偶数项的系数b_2n＝0即

则　 

在左端前一积分中作变量代换，令x＝π－t

则

要使上式成立，则必须当时．有－f（π－x）＋φ（x）＝0即φ（x）＝f（π－x）

于是就求出了延拓后的函数在内的表达式为f（π－x）

又延拓后的函数为奇函数，则它在的表达式为－f（－x），在上的表达式为－f（π＋x）

不妨设延拓后的函数为ψ（x），则

12．设f（x）可积、绝对可积，证明：

（1）如果函数f（x）在[－π，π]上满足f（x＋π）＝f（x），那么a_2m－1＝b_2m－1＝0

（2）如果函数f（x）在[－π，π]上满足f（x＋π）＝ －f（x），那么a_2m＝b_2m＝0

证明：（1）因f（x）可积、绝对可积且函数f（x）在[－π，π]上满足f（x＋π）＝f（x）

则f（x）在[－π，π]上可积、绝对可积且以π为周期

于是

对右端第二式作变量代换：t＝x－π，则其变为

于是

从而，得a_2m－1＝0（m＝1，2，…）

同理，得b_2m－1＝0（m＝1，2，…）

（2）因f（x）可积、绝对可积且函数f（x）在[－π，π]上满足f（x＋π）＝ －f（x），则f（x＋2π）＝f（x）

于是f（x）在[－π，π]上可积、绝对可积且以2π为周期

于是

对右端第二式作变量代换：t＝x－π，则其变为

于是

从而，得a_2m＝0（m＝1，2，…）

同理，得b_2m＝0（m＝1，2，…）

13．如果，问φ（x）与的傅里叶系数之间有什么关系？

解：函数φ（x）与的傅里叶分为

对右端作变量代换y＝－x，并将代入，得

同理，得b_n＝－β_n（n＝1，2，…）

14．如果，问φ（x）与的傅里叶系数之间有什么关系？

解：函数φ（x）与的傅里叶系数分为

对右端作变量代换y＝－x，并将代入，得

同理，得b_n＝β_n（n＝1，2，…）

15．设f（t）在（－π，π）上分段连续，当t＝0连续且有单侧导数，证明当p→∞时

证明：

在右端前一积分中令t＝－x，则

代回原式，得

下证

因

对于

因f（t）在（－π，π）上分段连续，在（δ，π）上连续，则在（δ，π）上分段连续因而可积，则由黎曼引理，得

对于

因补充定义，t＝0时，函数的值为0，则是[0，δ]上的连续函数

又f（t）为（－π，π）上的分段连续函数，则在[0，δ]上分段连续，因而可积，则由黎曼引理，得

因f＇（＋0），f＇＇（－0）存在，则存在

补充定义，t＝0时，函数值为f＇（＋0）＋f＇（－0），则是[0，δ]上的分段函数，因而可积，于是由黎曼引理，得

综上可得，当p→∞时，

§2　傅里叶变换

1．设f（x）在（－∞，＋∞）内绝对可积，证明在（－∞，＋∞）内连续．

证明：对总有A＇，A＇＇，使得ω∈[A＇，A＇＇]

由于

后者收敛且不含参量ω，这表明积分在[A＇，A＇＇]上一致收敛，据一致收敛积分的连续性，得在[A＇，A＇＇]上连续，从而在点ω处连续，由ω的任意性，得在（－∞，＋∞）内连续．

2．设f（x）在（－∞，＋∞）内绝对可积，证明

证明：由f（x）在（－∞，＋∞）内绝对可积，得对于任给的ε＞0，存在A＞0，使有

设f（x）在[0，A]内无暇点，则在[0,A]中插入分点0＝t₀＜t₁＜…＜t_m＝A，并设f（x）在[t_k－1，t_k]上的下确界为m_k，于是

从而

其中ω_k为f（x）在区间[t_k－1，t_k]上的振幅，△t_k＝t_k－t_k－1

由于f（x）在[0，A]上可积，故可取某一方法，使有

对于这样固定的方法，为一定值，因而存在δ＞0，使当ω＞δ时，恒有

于是对上述所选取的δ，当ω＞δ时

其次，设f（x）在区间[0，A]中有瑕点，为简便起见，不妨设只有一个瑕点且为0，于是对任给的ε＞0，存在η＞0，使有

又f（x）在[η，A]上无瑕点，故应用上述结果可得存在δ，使当ω＞δ时，恒有于是当ω＞δ时，有

即

同法，得当f（x）在（－∞，＋∞）内绝对可积时，均有

同法可证得当f（x）在（－∞，＋∞）内绝对可积时，

于是

3．求下列函数的傅里叶变换：

（1）

（2）

解：（1）

因为（－∞，＋∞）内的连续函数，则

（2）

因为（－∞，＋∞）内的连续函数，则