11.2　课后习题详解

§1　函数项级数的一致收敛

1．讨论下列函数序列在所示区域内的一致收敛性：

解：（1）当－∞＜x＜＋∞时，

则

于是由定义2，得f_n（x）在（－∞，＋∞）内一致收敛于|x|．

（2）当x＝1时，f_n（l）＝0，f（x）＝0；当0≤x＜1时，则f（x）＝0（0≤x≤1）

令则得

又则于是由定义2，得此函数序列在所示区域内 不一致收敛．

（3）（i）当－l＜x＜l时，

于是据定义2，得f_n（x）在（－l，l）上一致收敛于0．

（ii）当－∞＜x＜＋∞时，

取ε₀使0＜ε₀＜1，不论n多大，只要取就有

则在f_n（x）在（－∞，＋∞）上不一致收敛．

（4）当0≤x＜1时，当x＝1时，f_n（1）＝0，f（1）＝0，则

令则得

又

则即

于是定义2，得此函数序列在所示区域内一致收敛于0．

（5）

于是f（x）在[0，1]上不连续，而f_n（x）在[0，1]上连续，则在[0，1]上不一致收敛．

（6）因则&

对因则存在δ（ε）＞0，当0＜t＜δ时，有|tlnt－0|＜ε

取当n＞N时，

从而对一切0＜x＜1，有故

从而由定义1，得此函数在（0，1）内一致收敛于0．

2．讨论下列级数的一致收敛性：

解：（1）因部分和则

于是S（x）在[0，1]上不连续，而S_n（x）在[0，1]上连续，则在[0，1]上不一致收敛．

（2）因此级数为交错级数，且则余式的绝对值不会超过它的首项的绝对值，即

从而对当n＞N时，有|r_n（x）|＜ε则此级数在（－∞，＋∞）上一致收敛．

（3）当－∞＜x＜＋∞时，恒成立，且级数收敛

则由魏氏判别法，得级数在（－∞，＋∞）上一致收敛．

（4）因则

即

从而

又级数收敛，则据魏氏判别法，得级数在（－∞，＋∞）上一致收敛．

（5）当x＝0，2π时，

当x≠0，2π时，

则当0≤x≤2π时，

又对x∈[0，2π]关于n单调递减且由得当n→∞时，关于x在[0，2π]上一致地趋于0（由定义2）

则据狄立克莱判别法，得级数在[0，2π]上一致收敛．

（6）由于对有则

又级数收敛，则据魏氏判别法，得级数在[0，＋∞）上一致收敛．

（7）记

当0＜x＜＋∞时，由于且收敛，故原级数绝对收敛，从而收敛，但它在

（0，＋∞）内并不一致收敛．

如若不然，设它一致收敛，则对任给ε＞0，取ε＝1，必存在N＝N（ε）∈Z^＋（它与x无关），使当n＞N时，对于（0，＋∞）内的一切x，均有其中p为任意正整数

今取p＝1，n＝N则对一切x∈（0，＋∞），应有

又取也应有

但事实上却有这与矛盾

则假设不成立，即级数在（0，＋∞）上收敛但非一致收敛．

3．证明一致收敛定义1和定义2的等价性．

证明：定义1定义2

己知对任给的ε＞0，存在只依赖于ε的正整数N（ε），使n＞N（ε）时，有对一切x∈X都成立．

于是从而

定义2定义1

已知即对使当n＞N时，对一切x∈X，都有

而对一切x∈X都成立．

（完全类似地可证明函数项级数定义1定义2）．

4．试证级数在任何区间[1＋α，∞），α＞0为一致收敛．

证明：因当h＞0时，ln（1＋h）＜h，则

又收敛，则据M判别法，得原级数在[1＋α，∞）（α＞0）上一致收敛．

5．若在X上一致收敛，则在X上亦一致收敛且绝对收敛．

证明：因在X上一致收敛

则由一致收敛的柯西充要条件，得对使当n＞N时，对一切x∈X和任意的正整数p，有

又的一般项

则对上述ε＞0，正整数N＝N（ε），使当n＞N时，对一切x∈X和上述正整数p，有

由—致收敛的柯西充要条件，得在X上一致收敛且绝对收敛．

6．证明级数关于x在（－∞，＋∞）上为一致收敛，但对任何x并非绝对收敛，而级数虽在x∈（－∞，＋∞）上绝对收敛，但并不一致收敛．

证明：因即在（－∞，＋∞）上一致有界

又则函数列对于x∈（－∞，＋∞）单调减

又对取则当n＞N时，对一切x∈（－∞，＋∞），都有

则关于x∈（－∞，＋∞）—致收敛于0，于是由狄立克莱判别法，得

在（－∞，＋∞）内一致收敛．

因且发散，则由比较判别法的极限形式，得发散，于是对任何x级数非绝对收敛．

对固定的x∈（－∞，＋∞），因

由柯西判别法，得在（－∞，＋∞）收敛，于是绝对收敛．

当x≠0时，

当x＝0时，S_n（0）＝0，S（0）＝0，则

因S_n（x）在（－∞，＋∞）上连续，而S（x）在（－∞，＋∞）上不连续，则在（－∞，＋∞）内不一致收敛．

7．证明：

（1）如果在[a，b]上一致收敛，那在[a，b]上也一致收敛；

（2）如果在[a，b]上一致收敛，但未必一致收敛，以为例来说明．

证明：（1）由柯西准则即题设，得

对使当n＞N时，对一切x∈[a，b]和任意p∈Z^＝，有

从而

则据一致收敛的柯西准则，得在[a，b]上一致收敛．

（2）例：在[0，1]上一致收敛

因（当x＝0，1时）；当0＜x＜1时，，则在[0，1]上关于n单调减少

由1．（4），得在[0，1]上一致收敛于0，则由狄立克莱判别法，得 [0，1]上一致收敛

但在[0，1]上非一致收敛（由2．（1）得）．

8．设每一项φ_n（x）都是[a，b]上的单调函数，如果在[a，b]的端点为绝对收敛，那么这级数在[a，b]上一致收敛．

证明：因φ_n（x）在[a，b]上单调，故有

由于收敛，则收敛

则据M判别法，得级数在[a，b]上一致收敛．

9．下列函数是否一致收敛？

解：（1）

因f（x）在[0，π]上不连续，但f_n（x）在[0，π]上连续，则f_n（x）＝（sinx）ⁿ在[0，π]上不一致收敛．

（2）（i）

因f（x）在[0，π]上不连续，但f_n（x）在[0，π]上连续，则在[0，π]上不一致收敛．

（ii）因

即

则由定义2，得在[δ，π－δ]上一致收敛于1．

（3）（i）当0≤x≤1－ε时，则

于是

则由定义2，得在[0，1－ε]上一致收敛于0．

（ii）

因f（x）在（1－ε，1＋ε）上不连续，而f_n（x）在（1－ε，1＋ε）上连续，则在

（1－ε，1＋ε）上不一致收敛．

（iii）当1＋ε≤x＜＋∞时，则

于是

从而由定义2，得在[1＋ε，＋∞）上一致收敛于1．

10．证明在（0，＋∞）内连续．

证明：任取x₀∈（0，＋∞），则存在α，β＞0，使α＜x₀＜β，在[α，β]上

因α＞0，则e^α＞1，于是则由达朗贝尔判别法的极限形式，得级数收敛，从而据M判别法，得在[α，β]上一致收敛．

又ne^_nx在[α，β]上连续，从而在[α，β]上连续

因x₀∈[α，β]，则在x₀点连续

由于x₀是（0，＋∞）的任意点，故在（0，＋∞）内连续．

11．证明函数在（－∞，＋∞）内连续，并有连续导函数．

证明：因且收敛，则据M判别法，得在（－∞，＋∞）—致收敛

又在（－∞，＋∞）内连续，则在（－∞，＋∞）内连续

因且收敛，则据M判别法，得在（－∞，＋∞）一致收敛

于是

又在（－∞，＋∞）内连续，则在（－∞，＋∞）内连续

即f′（x）在（－∞，＋∞）内连续且

12．证明函数在（1，＋∞）连续，并有连续各阶导函数．

证明：各项求导数所得级数为下证它在1≤a≤x＜＋∞上—致连续（a为大于1的任何数）

当a≤x＜＋∞时，有

由于且收敛

则级数收敛，于是由M判别法，得级数在a≤x＜＋∞上一致收敛

注意到每项都是x的连续函数，则级数在a≤x＜＋∞上可逐项求导数，得且在a≤x＜＋∞上连续

由a＞1的任意性，得对一切1＜x＜＋∞成立且在1＜x＜＋∞上连续，当然ζ（x）更在1＜x＜＋∞上连续，

利用数学归纳法，并注意到对任何正整数k，级数都收敛，仿照上述，可证：对任何正整数k，在1＜x＜＋∞上都存在且连续，且可由原级数逐项求导数k次，得

13．试证级数在整个实数轴上一致收敛，但在任何区间内不能逐项求微商．

证明：因对皆成立且级数收敛，则据M判别法，得在整个实数轴上一致收敛

下证在任何区间内都有不连续点

任取x∈（－∞，＋∞），总存在k∈Z，使x＝k＋y其中0≤＜y＜1

将其代入，得特别的，取y＝2^－mh，其中m∈Z^＋，h＝0，1，2，…，2^m－1

当n＞m时，cos（2ⁿπy）＝1，此时级数一般项不趋于0，则发散，于是发散

又在任何区间内都存在x＝k＋2－^mh（h＝0，1，2，…，2^m－1）这样的点，k为x的最小整数部分

则级数在任何区间内不能逐项求微商．

§2　幂级数

1．求下列各幂级数的收敛区间：

解：（1）

因则其收敛域为（－∞，＋∞）．

（2）

由于则于是其收敛区间为（－1，1）

当x＝－1时，原级数

因且当x≥3时，则单调减少

又则级数为莱布尼兹级数，于是级数收敛

当x＝1时，原级数为

因则据正项级数的比较判别法及级数发散，得级数发散则此级数的收敛域为[－1，1）．

（3）因则

又则其收敛半径为收敛区间为

当时，原级数为则

由洛必达法则，得

则级数发散，于是原级数的收敛域为

（4）

由得其收敛半径为R＝1，收敛区间为（－1，1）

当|x|＝1即x＝±1时，原级数变为

由于级数收敛，则级数绝对收敛则收敛

从而幂级数的收敛域为[－1，1]．

（5）

因则级数收敛半径为收敛区间为

当时，原级数变为

对级数

因则据达朗贝尔判别法，得级数收敛

又级数发散，则级数发散

同法可得，当时，级数发散

则级数的收敛域为

（6）

因则级数的收敛半径为收敛区间为

当时，原级数变为

对级数

因则据达朗贝尔判别法，得收敛

又级数收敛，则当时，原级数收敛；

同法可得，当时，原级数发散

则级数的收敛域为

2．求级数的收敛半径

解：（1）

因

则于是其收敛半径为R＝1．

（2）

因于是其收敛半径为

3．设幂级数的收敛半径为R，的收敛半径为Q，讨论下列级数的收敛半径：

解：（1）则其收敛半径为

（2）设A_n＝a_n＋b_n

则有

因

则

从而，得

（3）B_n＝a_nb_n

则有

于是

从而

4．设对充分大的n，|a_n|＜|b_n|，那么级数的收敛半径不小于的收敛半径．

证明：因对充分大的n，|a_n|＜|b_n|，则于是

设级数的收敛半径为R，级数的收敛半径为Q

则当由得R≥Q；

当则于是R≥Q；

当时，则R≥0，Q＝0，于是R≥Q

综上知，级数的收敛半径不小于的收敛半径．

5．证明幂级数的性质1和性质2．

证明：性质1．

设x为（x₀－R，x₀＋R）内任一点，总可以选取0＜r＜R使得|x－x₀|≤r

由阿贝尔第二定理，得在[x₀－r，x₀＋r]上一致收敛

又a_n（x－x₀）ⁿ（n＝0，1，2，…）在[x₀－r，x₀＋r]连续，则由函数项级数的和的连续性知S（x）在[x₀－r，x₀＋r]连续，当然在x这一点连续

而x为（x₀－R，x₀＋R）上任一点，则S（x）在（x₀－R，x₀＋R）连续

又若在x₀＋R收敛，则由阿贝尔第二定理，得在[a，x₀＋R]（取a∈（x₀－R，x₀＋R）上一致收敛

由于a_n（x－x₀）ⁿ（n＝0，1，2，…）在[a，x₀＋R]连续，则由函数项级数的和的连续性定理，得S（x）在[a，x₀＋R]连续，当然也在x₀＋R连续，于是S（x）在（x₀－R，x₀＋R）上连续

同理若在x₀－R收敛，则S（x）在[x₀－R，x₀＋R）上连续．

性质2．

（1）设x为（x₀－R，x₀＋R）内任一点，由阿贝尔第二定理，得在[x₀，x]上一致收敛（若x＜x₀则取[x，x₀]）

又a_n（x－x₀）ⁿ（n＝0，1，2，…）在[x₀，x]连续

则由函数项级数逐项求积分定理，得

（2）由第5页习题3（2）知，若{x_n}收敛，且则对任何{y_n}，有

则

这说明：有相同的收敛半径R

设x是（x₀－R，x₀＋R）内任一点，总可选取一点0＜r＜R使得|x－x₀|≤r

由阿贝尔第二定理，得在[x₀－r，x₀＋r]上一致收敛，因而收敛又的收敛半径为R，由阿贝尔第二定理，得在[x₀－r，x₀＋r]上一致收敛

又na_n（x－x₀）^n_1（n＝1，2，…）在[x₀－r，x₀＋r]连续，则由函数项级数逐项微分定理，得

在[x₀－r，x₀＋r]当然也就在x点，有

再由x在（x₀－R，x₀＋R）的任意性，得在（x₀－R，x₀＋R）上式也成立

（3）设的收敛半径为R'

由（1），得当在（x₀－R，x₀＋R）收敛（收敛到S（x））时，有在（x₀－R，x₀＋R）上收敛（收敛到）那末R≤R'

另一方面，由（2），当在（x₀－R'，x₀＋R'）上收敛（收敛到）时，有在（x₀－R'，x₀＋R'）收敛（收敛到S（x）），那么R≤R'，于是R＝R'

6．设收敛于A，收敛于B，如果它们的柯西乘积

收敛，则一定收敛于AB．

证明：作

当x＝1时，

即幂级数在n＝1收敛

由Abel第一定理，得上述的幂级数在|x|＜1内绝对收敛

由柯西定理，得级数收敛于即C（x）＝A（x）B（x）

因在n＝1收敛

由幂级数类似性质1，则A（x），B（x），C（x）在x＝1左连续

则C＝AB，于是

7．设当|x|＜r时收敛，那么当收敛时成立

不论当x＝r时是否收敛．

证明：因当|x|＜r时收敛，则其收敛半径为R，且r≤R，从而f（x）在（－r，r）内收敛．

则据性质2，当x∈（－r，r）时，有

即

因收敛，则在θ＝r收敛，于是其和S（θ）在r点左连续．

从而不论当x＝r时是否收敛，均有

8．利用上题证明

证明：因

则

即

因

收敛，则由上题结论，得

9．求的麦克劳林级数，说明它的麦克劳林级数并不表示这个函数．

证明：因

且收敛，则由M判别法，得

内一致收敛，从而收敛．

又

且收敛，则由M判别法，得在（－∞，＋∞）内一致收敛．

又

在（－∞，＋∞））内连续，则由逐项求导定理，得在（－∞，＋∞）上

于是

如此下去，用数学归纳法，得

则f（x）的麦克劳林级数为，其收敛半径为

因

且

于是R＝0，即其麦克劳林级数仅在x＝0收敛，但由前面可知其在（－∞，＋∞）内均收敛，则它的麦克劳林级数并不表示此函数．

10．证明：

（1）满足y^（IV）＝y；

（2）满足xy＇＇＋y＇－y＝0

证明：（1）

则知对任一x，幂级数都收敛，即其收敛域为（－∞，＋∞），在收敛域内逐项微分之，得

即

（2）则

则知对任一x，幂级数都收敛，即其收敛域为（－∞，＋∞），在收敛域内逐项微分之，得

即xy＇＇＋y＇－y＝0

11．展开：

（1）成为x的幂级数，并确定收敛范围；

（2）f（x）＝lnx为（x－2）的幂级数．

解：（1）因此时

则

（2）

因

则收敛域为[0，4]．

12．利用已知展开式展开下列函数为幂级数，并确定收敛范围：

（1）

（2）

解：（1）因

则

当n＝2k时，f（x）＝0；当n＝2k＋1时，

综上可知，收敛域为（－∞，＋∞）

（2）因

则，收敛域为（－∞，＋∞）．

13．展开为x的幂级数，并推出

解：因则

令为f（x）的幂级数，其收敛范围为

由幂级数的逐项求导定理，得在内逐项求导

于是

因

14．求下列函数的幂级数展开式，并推出收敛半径：

（1）

（2）

解：（1）因

令为f（t）的幂级数，收敛域为由幂级数逐项积分定理，得在内逐项积分

（2）因其收敛域为，收敛半径为R＝∞．

由幂级数的逐项积分定理，得内逐项积分

其收敛半径为R＝∞．

　 15．求下列级数的和：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）

因

（2）

因

（3）　

则于是其收敛半径为R＝1．

当|x|＝1时，由于（n＋1）²→＋∞，则级数发散，于是级数的收敛域为（－1，1）．

当x∈（－1，1），令

由性质2得在（－1，1）可逐项积分，且其收敛半径不变，仍为1．

又由性质2得在（－1，1）上可逐项积分

则

于是

（4）

因

则

§3　逼近定理

1．在闭区间[－1，1]上用伯恩斯坦多项式B₄（x）逼近函数作出函数和y＝B₄（x）的图形．

解：令x＝－1＋2y，则当0≤y≤1时，－1≤x≤1，此时

则f（x）在[－1，1]上用伯恩斯坦多项式

则

又f（x）当－1≤x≤0，f（x）＝0，

则

图11－1

2．设f（x）是[a，b]上的连续函数，证明存在有理系数的多项式P（x），使得其中ε是预先给定的任意函数．

证明：因f（x）是[a，b]上的连续函数，则由逼近定理，得对任意给定的ε＞0，定存在多项式Q（x），使得

其中

设C＝max（|a|，|b|），由实数的稠密性，得必存在有理数b_i，使得

并设P（x）＝b₀＋b₁x＋…＋b_nxⁿ

则

于是　 

从而

即存在有理系数的多项式P（x），使得