第5章　连续函数和单调函数

1．设f（x）在[a，b]上连续，对任意的x∈[a，b]，存在y∈[a，b]，使，证明：存在，使得。[浙江大学研]

证明：反证法。若f（x）≠0，不妨设f（x）>0，又因为f（x）在[a，b]上连续，所以可取到最大值与最小值。设，当时，存在，使，这与是最小值矛盾。

2．设f（x）在[a，b]上连续，f（a）＜f（b）．又设对一切存在，用g（x）表示这个极限值，试证：存在c∈（a，b）使g（c）≥0．[南开大学研]

证明：用反证法．若

取，使

对该，当时有

当

故f在x附近单调减，并由x的任取性知f（x）在[a，b]上单调递减，特别有f（a）≥f（b）．这与假设矛盾．存在c ∈（a，b）使g（c）≥0．

3．设f（x）在[a，a＋2α]上连续，证明：存在x∈[a，a＋α]，使得

　 ①[北京大学研]

证明：令

则 ②

③

（1）若g（a）＝0，则

则①式成立．

（2）若g（a＋α）＝0，则

①式也成立．

（3）若，则由g（x）连续及连续函数的零值定理，也存在使，从而①式仍然成立．

4．设连续函数y＝f（x），x∈[a，b]，其值域，则一定存在使[复旦大学研]

证明：

方法一：

  ①

用反证法．若，则分四种可情况讨论．

若f（x）＞x，x∈[a，b]，那么f（b）＞b．这与①式矛盾．

若f（x）＜x，x∈[a，b]，那么f（a）＜a，也与①式矛盾．

若存在，使

②

则令，由②知，则存在，使，即，这与假设矛盾．

若存在使，类似可得矛盾．

从而得证存在，使．

方法二：，

若其中有一等号成立，命题得证．

若f（a）＞a，f（b）＜b，令F（x）＝f（x）－x在[a，b]上连续，

则F（a）＝f（a）－a＞0；F（b）＝f（b）－b＜0

由连续函数的零值定理，，得，即．

5．设，试证明f（x）在[2，＋∞）内有无穷多个零点．[南京大学研]

证明：由于，所以在k充分大时恒正。在k充分大时恒负。又由f（x）的连续性知f（x）在区间内有零点，故f(x)在[2，＋∞）内有无穷多个零点．

6．函数f（x）在上连续，且，证明：f（x）在上有最大值或最小值。[北京工业大学、华东师范大学研]

证明：若f（x）在上恒等于A，则结论自动成立。

若存在使得，不妨设的证明完全类似）。因为，由极限的保号性知，存在，使得。由于f（x）在[－M，M]上连续，所以f（x）在[－M，M]上取到最大值且。从而有，即f（x）在上有最大值．

7．证明：函数在（0，1）内不一致连续，但在[1，2]与[2，＋∞）上均一致连续。[中北大学研]

证明：取。则。显然，但

所以在（0，1）内不一致连续。

由于f（x）在[1，2]上连续，故f（x）在[1，2]上一致连续。由于，所以对任意的ε>0，存在A>2，使得当时，有

由于f（x）在[2，A＋1]上连续，故f（x）在[2，A＋1]上一致连续。从而对上述的ε>0，存在0＜δ＜1，使得当时，有

结合上面两种情况，则当时，有

即f（x）在[2，＋∞）上一致连续。

8．设f（x）在上一致连续，且对任意的。证明：[华东师范大学2006研]

证明：因为f（x）在上一致连续，所以对任意的ε>0，存在δ>0，使得

对于上述的δ>0，由知，存在N>0，使得

对任意的x>Nδ，存在使得，故有

即．

9．设f（x）在区间X上有定义，试证明：f（x）在区间X上一致连续在区间X任意两个数列，当时，有．[浙江大学研]

证明：（1）必要性。若f（x）在区间X上一致连续，则对任意的ε，存在δ，对任意的，只要，都有。取，因为，对上述任意的ε，有δ＝ε，存在N，当n>N时有，由f（x）的一致连续性定义，则有．

（2）充分性。反证法。假设存在，对任意的n∈N，存在，使得

，矛盾。