§1 平面的仿射坐标变换_解析几何(第三版)-QQ阅读女生幻言网

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§1　平面的仿射坐标变换

1.1　点的仿射坐标变换公式

平面上给了两个仿射坐标系：[O；d1，d2]和[O′；d′1，d′2].为方便起见，前一个称为旧坐标系，简记作Ⅰ；后一个称为新坐标系，简记作　Ⅱ.点M（或向量a）在Ⅰ中的坐标称为它的Ⅰ坐标（或旧坐标），在　Ⅱ中的坐标称为它的　Ⅱ坐标（或新坐标）.为了研究同一个点M的Ⅰ坐标与　Ⅱ坐标的关系，首先要明确Ⅰ与　Ⅱ的相对位置.

图4.1

设　Ⅱ的原点O′的Ⅰ坐标是（x0，y0）T，Ⅱ的基向量d′1，d′2的Ⅰ坐标分别是（a11，a21）T，（a12，a22）T.现在我们来求点M的Ⅰ坐标（x,y）T与它的　Ⅱ坐标（x′，y′）T之间的关系.如图4.1所示，因为

所以

公式（1.1）称为平面上坐标系Ⅰ到　Ⅱ的点的仿射坐标变换公式.它把任意一点M的Ⅰ坐标x,y表示成它的　Ⅱ坐标x′，y′的一次多项式.

定理1.1　平面上点的仿射坐标变换公式（1.1）中的系数行列式不等于零，即

证明　假如（1.1）中系数行列式等于零，则由第一章的命题2.1知，d′1与d′2共线，矛盾.所以结论成立.

由于公式（1.1）中系数行列式（记作D）不等于零，因此公式（1.1）看成x′，y′的方程组可以求得唯一解：

公式（1.2）是把平面上任意一点M的　Ⅱ坐标x′，y′表示成它的Ⅰ坐标x,y的一次多项式，称它是平面上坐标系　Ⅱ到Ⅰ的点的仿射坐标变换公式.

1.2　向量的仿射坐标变换公式

现在我们来看平面上的向量m的Ⅰ坐标（u,v）T与它的　Ⅱ坐标

（u′，v′）T之间的关系.设，其中Mi的Ⅰ坐标为（xi，yi）T，Ⅱ坐标为（x′i，y′i）T（i=1，2），则有

即

公式（1.3）称为平面上坐标系Ⅰ到　Ⅱ的向量的仿射坐标变换公式.它把任意一向量m的Ⅰ坐标u,v表示成它的　Ⅱ坐标u′，v′的一次齐次多项式（即没有常数项），这是与点的坐标变换公式不同的地方.平面上的点和向量是有本质区别的两种对象，如果只从一个坐标系来看，则点和向量的坐标都是有序实数对，看不出点和向量的区别.但是，如果取两个仿射坐标系（它们的原点不重合），通过坐标变换，则点和向量的区别就明显了：点的坐标变换公式（1.1）中有常数项，而向量的坐标变换公式（1.3）中没有常数项.

由于公式（1.3）中的系数行列式不为零，因此可反解出