第2章 引力不是力

牛顿完全意识到了他理论中关于绝对空间的问题，但他认为加速度（特别是旋转）是可以解决这个问题的秘密武器。为了先发制人，他提出了一个思想实验，表明旋转运动证明了绝对空间的存在，这就是牛顿著名的“水桶实验”。

在《自述》（Autobiographical Notes）中，爱因斯坦对此事只是顺便提了一下：“首先要提到的是马赫的论述，虽然牛顿早就清楚地认识到了（指水桶实验）。”

爱因斯坦《狭义与广义相对论浅说》的附录五中并没有提到牛顿的水桶实验，但他认为奥地利人恩斯特·马赫（Ernst Mach）是唯一“认真考虑了如何消除空间概念的物理学家，马赫尝试代之以特定时刻所有质点之间距离的总和（他提出的这个概念，后来成了对惯性的完美的描述）”。

我们可以这样理解牛顿的思想实验：我们将绳子一头系在水桶的把手上，另一头高高地挂在树枝上，这样水桶就悬挂在空中了。往水桶里加3/4容量的水，然后不断旋转水桶，让绳子扭曲，直到绳子扭曲到不能再扭曲了，我们就松手，看看会发生什么（如图3所示）。

绳子开始解旋，水桶开始旋转。一开始，桶中的水仍然保持静止。接着，随着桶旋转速度的增加，桶里的水也开始旋转，水面凹了进去。这是由于旋转运动给水施加了离心力，让水向外运动，因此越靠近桶壁水位就越高。最终，水旋转的速度赶上了桶旋转的速度，水和桶一起旋转。

在《自然哲学的数学原理》中，牛顿写道：

桶壁一侧水位的上升，表明水会努力向离旋转轴更远的地方运动。这表明，水的旋转运动是真实的、绝对的，而不是相对的。通过这种运动，我们就可以定义并测量绝对运动。

这是我们日常生活中常见的普遍现象，你可能会觉得它什么都不能证明，更别提证明绝对空间了。但牛顿推理的逻辑是令人信服的。水从内向外移动并沿着桶壁上升的过程显然是一种运动，这种运动要么是绝对的，要么是相对的。只要水和桶的旋转速度存在差值，水就会继续由内而外，沿着桶壁上升，并且在速度相同时保持这个形状不变。牛顿认为，水的这一行为不能归因于水与桶的相对运动。如果这一运动不是相对的，那它必定是绝对的，而如果存在绝对运动，绝对空间就必然存在。

爱因斯坦意识到了牛顿推理中的逻辑缺陷，但他的反驳需要我们花一点儿力气才能理解。多年以后，人们意识到，牛顿没有纵观全局。桶中水的行为确实不能只由它相对桶的运动来解释，但是可以由它相对于整个宇宙中其他部分的运动来解释。

之前提到过，如果所有的运动（包括旋转）都是相对的，那么我们原则上就不可能通过观察或测量区分是哪个人或者哪个物体在运动。这就是相对运动的含义。如果我们不能区分是桶相对于整个宇宙的其他部分在旋转，还是整个宇宙的其他部分在绕着桶旋转，牛顿的论证就不成立了。

当然，如果是整个宇宙的其他部分绕着静止的桶旋转，就说明这让桶中的水受到了离心力。但我们得思考这是怎么做到的。

爱因斯坦的评论清楚地表明，反驳牛顿的这一观点主要来自物理学家、头号经验主义者马赫，这一观点也被称为马赫原理。为了完全抹除绝对空间的概念，爱因斯坦需要找到一个情境，在这个情境中，正在加速运动的观察者无法分辨出是谁或者什么东西正在加速。

所有在地球上的人都会认为加速度（或者惯性，它衡量的是物体抵抗运动状态变化的倾向）是我们可以直接感受到的，因此是绝对的、无可争辩的。但如果我们是在太空中自由下落呢？

我们不知道爱因斯坦当时正在想什么，但我们知道，在1907年11月那平凡的一天，爱因斯坦在瑞士专利局邂逅了他“一生中最幸福的思想”。当时的爱因斯坦已晋升为“二级技术专家”。他后来回忆道：“我当时坐在位于伯尔尼的瑞士专利局的椅子上，突然一个想法击中了我：如果一个人自由下落，他将感受不到自己的重量。我大吃一惊，这个简单的思想实验对我产生了极大的影响。”

在自由落体运动中，人既感受不到加速度，也感受不到重力。从这个非常简单的直觉出发，爱因斯坦意识到，我们对于加速度的感觉，与我们对重力（引力）的感觉是完全一样的，它们就是同一件事。爱因斯坦把这条原理称为等效原理。这意味着，解决了加速度的相对性问题，也许可以同时解决牛顿引力的问题。或许，本来待解决的就不是两个不同的问题，而是一个。斯莫林依然记得当年在乘纽约地铁时阅读爱因斯坦1907年发表的关于等效原理的论文的事，他称自己“突然明白了”。

爱因斯坦发现了等效原理，却不知道该拿它来做什么。不管怎么样，到1907年年末，他的生活有了很大的改变。随着他的知名度日益增长，他开启了学术事业，先后在苏黎世和布拉格的大学任教。爱因斯坦承担了很多教学与管理的工作，研究兴趣也转向了其他物理学问题。又过了5年，他才意识到等效原理可以帮助他在另外两件事物间建立联系：引力与几何。

与引力有关的是什么东西的几何形状呢？1908年，爱因斯坦之前在苏黎世理工学院的数学教授赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）意识到，可以将空间和时间通过某种方式组合起来，让狭义相对论中的时间延缓和距离缩短效应可以互补，从而产生了四维的时空，人们有时也称之为时空度量。

爱因斯坦后来花了很大力气才证明，这种“四维”的时空观并不是新事物。在牛顿的经典物理学中，日常发生的每一件事都需要4个数才能完全描述：三个空间坐标x、y、z，以及一个时间坐标t。但牛顿物理学把时间当成一个截然不同的量，并相较于空间独立处理。而在闵可夫斯基的时空中，时间t（单位为秒）与光速c（单位为米每秒）相乘后，ct的单位与空间坐标x、y、z相同（均为米），所以时间与三个空间坐标拥有平等的地位。

如果引力与加速度等效，那么牛顿在伍尔斯索普庄园的花园中被苹果砸到头的经历（广为流传但真实性可疑）就可以从两种不同但等价的角度来看待。我们可以想象引力通过某种方式作用于苹果，将苹果拉向地面，也可以想象地面向上加速以迎接苹果。这两种角度是等效的，但后者只在我们将地球想象成平的时才成立。当然，地球是圆的，我们可不能对地球另一面的人们不管不顾。

爱因斯坦开始意识到，问题在于时空本身。闵可夫斯基时空是平直的欧几里得空间，以古希腊著名数学家欧几里得命名。我们在学校里学到三角形的内角和为180°，圆的周长是其半径的2π倍，两条平行线永不相交，这些都是平直空间的特征。当我们给三维空间加上第四维——时间，就得到了一个平直的时空。

爱因斯坦擅长跳出思维定式来想问题，而且以往他的这种思维方式通常都取得了惊人的效果。如果把地球看成平的，它在穿过平直时空的过程中就能实现加速度与引力的等效性。但我们知道地球表面是个弯曲的球面，所以，如果时空是弯曲的呢？

在平直的时空里，两点之间的最短距离显然是连接两点的线段长度。但伦敦和悉尼之间的最短距离（10553英里）可不是连接两个城市的线段长度。在球面上，这两点之间的最短距离来自一条被称为“大圆弧线”或“测地线”的弯曲路径。

这就是爱因斯坦曾经寻找的答案。在平直空间中，所有线都是直的，因此牛顿的引力必然能瞬间跨过一段距离发生作用。但如果时空是弯曲的，就像大圆弧线一样，那么沿着这条路径运动的物体就是在“自由落体”，在自由落体的过程中，它就获得了加速度。

爱因斯坦伟大的洞察力在于，他想到了时空并不是固定不变的，而是可塑的。就像磁场的“力线”一样，时空可以根据质能的存在这样或那样地弯曲。一个像恒星那样的大型物体会弯曲它周围的时空（如图4所示），就好像一个小孩在蹦床上跳来跳去时会改变蹦床表面的形状一样。其他物体，例如行星，一旦离恒星过近，就会沿着时空形状所决定的最短路径运动。沿着最短路径做自由落体运动的行星就获得了加速度，这与行星受到引力而获得加速度是完全等价的。

掉落的苹果并不必须被看作是某种神秘的超距作用力从地底下凭空而起将其拽落，它也可以被看作是愉快地沿着地球质量造成的弯曲时空给出的最短路径，一路加速而落地。

1952年5月，普林斯顿大学的美国理论物理学家约翰·惠勒（John Wheeler）从书架上拿下一个装订精致的全新笔记本，并给它写上“相对论Ⅰ”的标签。他很满意学校同意他教一门关于相对论的课程，并且想通过撰写一本教材来好好研究一下这个课题。“那年秋天，有15名研究生选了我的这门课，”惠勒说，“这是普林斯顿大学第一次开设相对论的课程。我和学生一起深入研究了这个课题，尝试透过已经主导该理论数十年的数学形式，寻找真正的、触手可及的物理意义。”

这本书最终于1973年出版，题为《引力论》（Gravitation），由惠勒与查尔斯·米斯纳（Charles Misner）和基普·索恩（Kip Thorne）合著。在罕布什尔学院读大学的第一年，斯莫林参加了人生中的第一次科学会议——两年一度的得克萨斯相对论天体物理学专题讨论会系列中的一场，在纽约市举行。在会上，他遇到了牛津大学的数学物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose），还听了史蒂芬·霍金和美国理论物理学家布赖斯·德威特（Bryce DeWitt）的报告。斯莫林也遇到了索恩，索恩建议他弄到这本新出版的《引力论》并认真吃透它。虽然这本书并不是大学课程要求的教材，但在接下来的一年里斯莫林还是对着它仔细研读。

这本书注定成为一本极有影响力的教材。它有近1 300页，厚厚的一大本，非常适合帮助思维方式较为实际的学生掌握引力的图像——如果它沿着时空的弯曲掉落，着地的时候会发出重重的一声闷响。

在找到合适的措辞之后，惠勒在几年后总结了爱因斯坦的相对论：“时空告诉物质如何运动，物质告诉时空如何弯曲。”

借助这样的洞察力，爱因斯坦发现了可以同时解决加速度和引力问题的理论，即后来我们所说的广义相对论。广义相对论表明，引力这种东西并不存在。质能产生引力场，但引力场并不与磁场类似：它不是存在于时空中每一点的某种东西。引力场本身就是时空。

想法已经有了，但爱因斯坦需要找到一种方法用数学的语言把它表达出来。把想法转化成数学公式总是困难的，研究四维空间中的物理学则格外困难，但爱因斯坦急需一套方程组来解释所有种类的时空几何形状。他的理论需要适应各种各样的时空，而它们的坐标方向可能各不相同。

爱因斯坦进一步提出了两条原理来推进自己的研究。其一是广义协变性，其本质上是相对性原理的延伸，保证物理学定律与参考系的选择完全无关——不管是惯性系还是有加速度的非惯性系都是如此，因此也与坐标系的选择无关。

第二条原理叫作一致性原理。爱因斯坦承认，牛顿万有引力定律的精度在它的适用范围内是完全没有问题的，因此他要求引力场方程能在极限条件下导出牛顿引力定律，即空间平直、速度远低于光速的条件下。

有一种广泛的误解认为，爱因斯坦是一位天才的物理学家，也必定是一名优秀的数学家，然而他并不是。他在将广义相对论的思想数学化时遇到了困难，并求助于朋友马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossman），格罗斯曼向他介绍了伟大的德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）及其学生伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）的工作。爱因斯坦接触到了黎曼的曲率张量，这是描述任意坐标系下一般几何形状曲率的标准数学表达方式。正是这一联系，后来让16岁的斯莫林的兴趣从建筑转向了广义相对论。

但黎曼张量并不能很好地满足爱因斯坦的要求。而且，在努力总结广义相对论的数学形式的过程中，爱因斯坦被艰深复杂的代数形式搞迷糊了。在两年间，他犯了各种各样的错误，尝试走了很多条路，但每条通往的都是死胡同。

最终，爱因斯坦还是找到了能描述引力场，并满足他对物理学原理的所有需求的数学形式。其结果是一系列方程，将时空的弯曲（位于方程左侧）与质能的分布和流动（位于方程右侧）联系了起来。他在位于柏林的普鲁士科学院做了四场讲座（最后一场在1915年11月25日举行），将自己的这一系列方程公之于众。

从开始构思到最终得到广义相对论的引力场方程为止，爱因斯坦想出了四种手段以验证这一理论。

第一种与其说是验证手段，不如说是对已有疑难问题的解决。从约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）17世纪提出开普勒三定律时我们就知道，行星围绕太阳运行的轨道呈椭圆形。但行星轨道并不是完美的椭圆——如果是那样的话，行星轨道上距离太阳最近的那个点（近日点）应该是固定不动的，行星每绕一圈时都在这个位置离太阳最近。然而，天文观测表明，行星每运行一周时，近日点都会产生微小的偏移，这种现象被称为进动。

天文学家观测到的进动，一大部分可以用太阳系中其他行星的引力总和来解释，这是牛顿定律完全可以解释的现象。对于离太阳最近的水星来说，牛顿力学预言的进动为每世纪532角秒。然而，实际观测到的进动值要更大一些，大约为每世纪574角秒，两者相差42角秒。这个差值虽然很小，但它意味着每300万年水星都要多转一圈。

牛顿力学无法解释这一差异，有人提出了其他解释，比如在水星轨道的内侧还存在一颗离太阳更近的行星，称为祝融星（Vulcan），天文学家苦苦找寻它无果。爱因斯坦高兴地发现，用场方程计算出来的相对论效应，刚好贡献了每世纪43角秒的差值，这是因为水星离太阳太近，受到了太阳周围时空弯曲的影响。这一发现让爱因斯坦获得了一生中在科学上所获得的最强烈的情绪体验：“一连几天，我都因喜悦和激动而发狂。”

或许广义相对论最著名的预言还要数星光在经过太阳时的弯曲。和水星的进动一样，星光弯曲本身并不是一个新的预言，但广义相对论预言的是弯曲的程度。牛顿的引力定律表明经过太阳表面的光应该弯曲0.85角秒，但广义相对论的时空弯曲预言的数值是它的两倍——1.7角秒。与水星进动不同，没有人测量过星光从太阳旁边经过时弯曲的程度，因此这会是一场直接的检验。

众所周知，爱因斯坦的预言由英国天体物理学家阿瑟·爱丁顿（Arthur Eddington）带领的一个团队于1919年5月验证。他们在日全食期间测量了多个恒星发出、经过太阳再到达地球的光。尽管几乎没有人真正理解时空弯曲真正的含义（其中更是几乎没有人能看得懂抽象的张量数学，哪怕专业的物理学家中也没有几个人能懂），但时空弯曲的概念激发了大众的想象力，爱因斯坦一夜成名。

广义相对论还预言了弯曲时空带来的类似狭义相对论的效应，爱因斯坦在1911年就计算出了个中细节。他推导出，在大型物体附近，即时空弯曲得最厉害的地方，测量到的时间会延缓，距离也会收缩。一个放置于地球表面的标准钟会比在地球上空的轨道上飞行的钟走得慢。

我们在上一章中了解：如果把一台原子钟放在飞机上，从英国伦敦运到美国华盛顿特区再运回来，它就会比一直静止地放在英国国家物理实验室的钟慢1.6×10^–8秒。这种时间延缓是飞机的速度带来的，属于狭义相对论的效应。但这台钟在高于海平面10千米的空中飞行时受到的重力要比地面小，即时空弯曲程度小，因此广义相对论效应会使它再慢5.3×10^–8秒。经过一些几何学上的调整之后，最终理论预测钟会慢4.0×10^–8秒。2005年，科学家进行了这一实验，测得钟慢了（3.9±0.2）×10^–8秒。

你可能会觉得千万分之一秒的误差对于我们地球上的日常生活而言根本不值一提，但如果不修正狭义和广义相对论带来的微弱效应，你的智能手机应用软件、车载导航、船或飞机上用的全球定位系统（GPS）的误差很快就会开始积累，仅在一天内就会造成11千米的定位误差。绘制你的跑步或骑车路线图将会很困难，在海上的船和在空中的飞机也都要迷路了。

爱因斯坦的场方程极为复杂，以至于爱因斯坦本人都认为它们不可能在不做简化近似的条件下被精确求解。然而，才不到一年，德国数学家卡尔·施瓦西（Karl Schwarzschild）就得出了一组解。施瓦西的解描述了一类大的、不带电的、非旋转的球形物体，可以作为缓慢旋转的天体（如恒星和行星）的有效近似。斯莫林在进入罕布什尔学院不久后就选了施瓦西解作为口头汇报的课题，结果事实证明他高估了自己的能力，理解上的不足很快就暴露了出来，最后他这门课没能及格。

施瓦西解最惊人的特征之一是它们预言了一道基本的边界，被称为施瓦西半径。任何被压缩到半径小于其施瓦西半径的物体都会达到极大的密度，以至于它周围的时空被弯曲到落回自身（地球的施瓦西半径约为9毫米）。没有任何事物能够逃出这类物体的引力场，连光都不行。这类物体就是黑洞。

罗韦利在多年后写道：“当我还在读大学的时候，黑洞被认为是一种晦涩难懂的理论所预言的难以想象的可能的结果。而如今，天文学家已经观测到成百上千个黑洞，并且开始研究它的细节了。”尽管黑洞显然难以直接探测到，但如今有大量间接证据表明，这种东西在我们的宇宙里存在得相当普遍，而且或许每个星系的中心都有特大质量黑洞。

爱因斯坦对于黑洞的想法表现得较为冷静，但1916年6月他推测，引力场的小波动会在时空中形成波并向外传播，就像湖面的水波一样。这类引力波与光波截然不同，只能在两个大质量天体相互绕转（天文学家称之为双星系统）的情况下产生。直到20世纪五六十年代，物理学家才意识到他们有机会实实在在地探测到引力波，而在2015年9月15日，他们的耐心终于得到了回报。

2015年9月15日，一个叫LIGO的合作实验组织观测到了两个黑洞并合时发出的引力波。LIGO包含两座观测台，一座位于美国路易斯安那州的利文斯顿，另一座位于华盛顿州里奇兰附近的汉福德，几乎位于美国本土的对角线两端。LIGO的观测结果于2016年2月11日公布，从那时候开始，LIGO和位于意大利比萨的天文台Virgo一起，继续记录下了一些引力波事件，其中包括两个中子星并合的事件。2017年诺贝尔物理学奖颁给了美国物理学家巴里·巴里什（Barry Barish）、基普·索恩和雷纳·韦斯（Rainer Weiss），以表彰他们对LIGO和引力波观测做出的贡献。

成功探测到引力波不仅强有力地证明了广义相对论的正确性，也打开了探索宇宙中遥远事件的新窗口，我们无须依赖光或其他形式的电磁辐射就可以知道发生了什么。

当爱因斯坦在普鲁士科学院做关于广义相对论的系列讲座的最后一场时，他相信自己已经完全解决了绝对空间和时间的问题。他写道：“（广义相对论的广义协变原理）将物理客观性的最后一片遗迹从时间和空间中消除了。”因此，他宣布，绝对时空观失败了，相对论胜利了。

让我们回到马赫原理，如果牛顿的桶是静止的，而宇宙其他部分围绕它旋转，那是什么造成了把水沿着桶壁向上推的离心力呢？

答案会让你惊叹不已。我们认为静态的水之所以会随着桶转动起来，是因为整个宇宙的质能一起拽动了它周围的时空。这一效应在1918年由奥地利物理学家约瑟夫·伦泽（Josef Lense）和汉斯·蒂林（Hans Thirring）由广义相对论导出，被称为参考系拖曳（framedragging），又称伦泽–蒂林效应。参考系拖曳效应告诉我们，我们确实不可能通过测量来区分到底是水在静态的宇宙中旋转，还是整个宇宙绕着在桶中静止的水旋转。水的旋转运动是相对的。

2004年4月24日，一座被称为引力探测器B（Gravity Probe B）的极为精密的设备被发送到了极地轨道上。这颗卫星上搭载了4台陀螺仪，在卫星绕地球旋转的过程中，科学家密切监测着陀螺仪的方向，并观察到了两种效应。地球使其周边的时空发生弯曲，根据预测，这将使引力探测器B上的陀螺仪在绕地球轨道平面上（即南北方向）发生6 606毫角秒/年的进动。这一进动被称为测地漂移（geodetic drift），该现象由荷兰物理学家威廉·德西特（Willem de Sitter）在1916年发现。

第二种效应就是参考系拖曳。随着地球绕着地轴旋转，它沿着东西方向（垂直于引力探测器B的轨道平面）拖动了周围的时空，这会让引力探测器B上的陀螺仪产生第二种进动，据预测应为39.2毫角秒/年。

数据采集从2004年8月开始，大约一年之后结束。该项目遭遇了一场令人失望的意外：由于发生了此前未曾预料到的静电荷的累积，卫星上的陀螺仪产生了令人意想不到的大幅摆动。这项误差可以用一套精细的数学模型来校正，但代价是增加了最终实验结果的不确定度。

对数据的分析持续了5年。2011年5月4日，研究人员在一场新闻发布会上公布了实验结果：测地漂移为6 602±18毫角秒/年，参考系拖曳在东西方向上产生的漂移为37.2±7.2毫角秒/年。后者的不确定度如此大，正是校正陀螺仪摆动的数学模型带来的。

尽管不确定度较大，但这一实验结果也为广义相对论增添了一项有力的证据。

对于20世纪70年代末学习相对论的学生而言，有很多验证相对论的经验证据还没有出现。但哪怕是最叛逆的学生，都不会质疑相对论本质上的正确性。诚然，这一理论的确复杂，它使用的数学语言只有很少的一部分人才有能力理解，但它在概念上的优美性或许在整个物理学史上都是无可匹敌的。相对论仿佛会施魔法，斯莫林和罗韦利都被它迷住了。“它是通往真实的一瞥。或者说，它就是对真实的一瞥，比我们日常看到的模糊而平庸的景象更为清晰。透过它看到的世界与我们梦中的世界有着同样的组成，但比我们梦中模糊的世界更加真实。”

爱因斯坦做出了“时空是相对的”这一成功论断。时空本身即由物质和能量组成。如果把所有的物质和能量都从宇宙中拿出去，并不会剩下一个空空的容器，而是什么都没有了。

世间存在的所有东西，都在宇宙里了。