1.2 几种常用的数制

任何一个数都可以用不同的进位体制来表示，但不同进位计数体制的运算方法和难易程度各不相同，这对数字系统的性能有很大影响。常用的进位计数制有十进制、二进制、八进制、十六进制。

1.2.1 十进制

十进制数的特点：

（1）每一位有10个数码，即0～9；

（2）由低位向高位的进位原则是“逢十进一”。

这里先说明两个概念，用来表示某种进位体制的数码的个数叫做基数。不同位置上数字代表的数值大小叫做位权，简称权。因此，十进制的基数为10，权为10i。例如125.37，从左至右，第一个为百位，该位置上的1代表100，权为102，把125.37按权的形式展开为

125.37=1×102+2×101+5×100+3×10−1+7×10−2

所以任何一个十进制数D均可展开为

式中ki是第i位的系数，它可以是0～9这10个数码中的任何一个。若整数部分的位数是n，小数部分的位数是m，则i是包含从n-1～0的所有正整数和从-1～-m的所有负整数。

若以N取代式中的10，即可得到任意进制（N进制）数按十进制展开式的普遍形式

式中i的取值与式（1-1）的规定相同。N是计数的基数，ki是第i位的系数，Ni称为第i位的权。

1.2.2 二进制

二进制数的特点：

（1）每一位有2个数码，即0和1；

（2）由低位向高位的进位原则是“逢二进一”。

所以二进制数各位的权是基数2的幂。任意一个二进制数按权展开式为

由式1-3可计算出它所表示的十进制数的大小。例如

(110.01)2=1×22+1×21+0×20+0×2−1+1×2−2=(6.75)10

上式中分别使用下脚标2和10表示括号里的数是二进制数和十进制数。有时也用B（Binary）和D（Decimal）代替2和10这两个脚注。采用二进制计数制，对计算机等数字系统来说，运算、存储和传输极为方便可靠，然而二进制数书写起来很不方便。为此人们经常采用八进制数和十六进制计数制来进行书写或打印。

1.2.3 八进制

八进制数的特点：

（1）每一位有8个数码，即0～7；

（2）由低位向高位的进位原则是“逢八进一”。

所以八进制数各位的权是基数8的幂。任意一个八进制数按权展开式为

由式1-4可计算出它所表示的十进制数的大小。例如

(23.8)8=2×81+3×80+8×8−1=(20)10

上式中使用下脚标8表示括号里的数是八进制数。有时也用O(Octal)表示八进制数。

1.2.4 十六进制

十六进制的特点：

（1）每一位有16个数码，即它由0～9，A～F组成，与10进制的对应关系是0～9对应0～9，A～F对应10～15；

（2）由低位向高位的进位原则是“逢十六进一”。

所以十六进制数各位的权是基数16的幂。任意一个十六进制数按权展开式为

由式1-5可计算出它所表示的十进制数的大小。例如

(1B.8)16=1×161+11×160+8×16−1=(27.5)10

上式中使用下脚标16表示括号里的数是十六进制数。

几种常用数制之间的变换关系如表1-1所示。