§2.5 T=0的多体微扰论

一、相互作用表象

在多体微扰论中，通常把粒子间的相互作用当作微扰，于是哈密顿量可以写作

其中非微扰项H0为单粒子哈密顿量，微扰项H1为相互作用．在薛定谔表象下，状态随时间变化

而力学量AS则不随时间变化，这里上角标表示是在薛定谔表象下．而格林函数是定义在海森伯表象下，它的特点是力学量AH随时间变化而状态|φH〉不随时间变化，海森伯表象与薛定谔表象通过正则变换相联系，

这两种表象在处理相互作用时都不太方便．为此需要引入另一表象，称作“相互作用表象”，它的定义是

显然，在相互作用表象下状态|φI〉满足方程

其中

在相互作用表象下可以定义演化算符U（t, t＇），

从（2.5.6）式可以得到它的运动方程

根据定义，显然演化算符具有性质

U（t, t″）=U（t, t＇）U（t＇, t″）.

如果H1是在t=t0时刻引进的，则应有|φI（t0）〉=|φH〉．无论在哪个表象，力学量的平均值都是一样的，与选用的表象无关

〈φS（t）|AS|φS（t）〉=〈φH|AH（t）|φH〉=〈φI（t）|AI（t）|φI（t）〉.

所以可以得到

这就是海森伯表象中的算符与相互作用表象中算符的关系．

二、Gell-Mann和Low定理

为了便于分析，在微扰论中常用一种“绝热连续”（即无限缓慢地）引入微扰的数学技巧，即假设

在这个过程中，相互作用在无穷长时间以前和以后都消失，而在t=0时刻达到真正需要考虑的情况．针对绝热连续过程，在1951年Gell-Mann和Low证明了一个定理[1]：

是H的一个本征态，其中是H0的基态．在微扰论成立的前提下，虽然没有严格证明，人们普遍认为|φI（t=0）〉就是H=H0+H1的基态，故写成

Gell-Mann和Low定理可以用来计算力学量在基态的平均值

再利用

可以进一步得到

其中

在更进一步计算时，首先需要用微扰方法来计算演化算符．可以用迭代法来解方程（2.5.8）式，把演化算符进行展开，得到

但是在（2.5.13）式中，每个时间的积分上下限有很强的限制条件．可以引入Dyson时序乘积[2]P[A（t1）A（t2）…A（tn）]来简化（2.5.13）式，其中时序乘积算符P的意义是把括号中各个算符按时刻t1, t2, …, tn的先后顺序由右向左排列，但不像定义编时乘积算符T那样引入正负号．这样U（t, t＇）就可以写为

虽然P乘积和T乘积定义是不同的，但当H1中包含偶数个场算符时，例如对二体作用

P乘积和T乘积的结果相等．

在微扰项中的场算符也是定义在相互作用表象中的算符

为了形式上的对称，常常把相互作用势写为

如果定义记号x≡（q, t）, dx≡dqdt，则有

把它代入（2.5.13＇）式就使U的表达式对时间和空间的积分在形式上对称，所有的积分都是x在整个时空的积分．

到了这一步就很有利于建立G（x, x＇）和无相互作用系统的格林函数G（0）（x, x＇）之间的关系了．按照定义，有相互作用的系统的格林函数为

利用与得到方程（2.5.12）类似的方法以及（2.5.13＇）式，可以得到

其中

其中式中每一组场算符乘积以及都来自同一个微扰项，而开始的场算符乘积则来自格林函数定义式中的场算符．而格林函数（2.5.16）式中的分母是

三、维克定理

不难看出，（2.5.17）和（2.5.18）两式有一些共同的特点：（1）它们都包含着某个算符在无微扰时的基态|上的期待值;（2）算符都是由偶

数个场算符或的编时乘积T{…}组成，且与的数目相等；（3）这些场算符都是在相互作用表象中的算符，等价于在无相互作用系统中的海森伯算符：

正因为有这些特点，才有可能把这类期待值表示为一系列单粒子格林函数G（0）的乘积，这就是维克（Wick）在1950年提出的定理[3].

其证明步骤如下：首先，可以把场算符分成两类，一类称作“消灭算符”（标为），它作用在无相互作用的多粒子系统的基态为零，即；另一类称作“产生算符”（标为），它们的共轭算符作用在无相互作用的基态为零，即≡0．如果把场算符乘积排成的形式，则称为这些算符的“正规乘积”，以N{…}表示．两个算符的编时乘积与正规乘积之差称为“收缩”，以表示，

维克指出多个算符的编时乘积可以写成各种可能的收缩与正规乘积的乘积之和，

这里Nij表示相乘的算符中不含有Fi和Fj，而符号λi=±1由将算符按照相应顺序排列后算符交换次数的奇偶性而定．

以上关系式（2.5.20）式就被称为维克定理．其原理是显而易见的，因为总是可以在N{…}算符结果的基础上进行若干次的场算符易位来得到相应的T{…}算符结果，而两排序算符之差等于多次换位所对应的收缩．如果某一对算符的乘积AB在T{…}和N{…}中排列的次序相同，则显然有=T{…}-N{…}=0，所以在（2.5.20）式中所有不需换位的收缩就没有贡献．

由N（AB）的定义显然有，所以

如果AB是，则（2.5.21）就是无相互作用的多粒子系统中的格林函数G（0）.

四、费曼图[4]

在维克定理的基础上，可以用图形来直观地表示（2.5.16）—（2.5.18）式以利于格林函数的分析和运算．场算符的编时乘积在无相互作用基态上的平均值可以用（2.5.20）式来计算，

其结果可以用无相互作用系统的格林函数G（0）来表示，（2.5.20＇）式中的求和号∑包括了各种可能的组合．

如果以箭尾表示电子的产生算符，以箭头表示湮没算符，以波纹线表示定义在四维空间的相互作用,（2.5.17）和（2.5.18）两式的前几项则可以画成以下图形

从这些例子可以看出一些普遍规律：（1）对应格林函数分子N（x, x＇）的图形可分为与（x, x＇）全连通和不全连通的两大类；（2）N（x, x＇）中的不全连通图形总可表示为一个全连通图形和格林函数分母D中一个图形的乘积，而且任何一个N中全连通图形和任何一个D中图形的乘积也仍然是N中的图形（更高级的不全连通图形）;（3）n级的拓扑等价图形共有！个，其中因子2n来自于n个微扰项内部的两个时空点的交换对称性，而因子n！来自不同的两个微扰项与的交换对称性．

因此，可以把（2.5.16）式作明显的简化，消去分母上的D和每项前面的因子，并且在N（x, x＇）中只对拓扑不等价的全连通图形求和，于是可以得到

其中附标c.u．表示只限于全连通拓扑不等价图形，G（0）（l）是图中的第l根粒子线对应的格林函数表达式．

对（2.5.22）式做图形展开的规则可以综述如下：

（1）格林函数展开的第n阶对应于所有各对时空点之间的n根作用线（以波纹线表示）和等2n+2个顶点之间的2n+1根粒子线（以实线表示）组成的全连通拓扑不等价图形．

（2）对于每个图形，x和x＇是外点，分别是一根粒子线的终点和起点，而其余2n个点xi和则是“角顶点”，是两根粒子线和一根作用线的交点．

（3）每根粒子线对应于无相互作用系统的格林函数G（0）（xi, xj），其中xi=（qi, ti）和xj=（qj, tj）是这根粒子线的终点和起点．相互作用波纹线连接两个同时的点．如果ti与tj相同时，则根据H1的定义式应理解为tj=ti+0+.

（4）每根粒子线形成的圈是-G（0）（qi, t; qi, t+0+），也就是无相互作用系统在qi处的电子密度，粒子线形成圈后多一个负号．可以证明如果图形中含有m个只由粒子线组成的圈，就在（2.5.22）式中出现（-1）m的因子．

（5）需要对所有角顶点的时空坐标求积分．

（6）最后再乘以因子

（作为练习，读者可自行展开（2.5.22）式中的G（x, x＇）到n=2项，以图形表示．）

根据上节的介绍，也可以在波矢和能量空间定义格林函数．对于有空间平移不变性的系统，格林函数在波矢和能量空间展开的规则与坐标空间大致相同，也是求所有全连通拓扑不等价的图形之和，具体规则如下：

（1）展开式的n阶项包括所有含n根相互作用线和2n+1根粒子线的拓扑不等价全连通图形．

（2）每个全连通图有两根外线（粒子线）与2n-1根内粒子线，每根粒子线对应于无相互作用时的格林函数

其中是无相互作用时单粒子的能量．另外有2n个角顶点，它们是粒子线与相互作用线的交点．在每个角顶点遵守动量守恒和能量守恒规则．如果相互作用与自旋无关，则还应遵守自旋守恒．每根相互作用线对应于，其中V（r）是粒子间的二体作用势．

（3）每个单粒子线构成的圈是．图形中如含m个由粒子线构成的圈，则应乘上因子（-1）m.

（4）对n个独立的内线能量和动量求积分

（5）最后乘以因子

五、Dyson方程（无穷级数部分求和）

格林函数（2.5.22）式的头三项展开可以写为

其中

它们都包含一根粒子线和一根相互作用线，被称为“一阶自能项”．在n=2阶有四项

它们可以合并写成

不难推想，三阶图形中一定也有八个图形，可以合并写作

如果把无穷项中类似的由乘积得出的项都写在一起，则其总贡献G（1）可以写作

因此，它的解是

从以上的讨论中我们可以看出，全连通图形还可以进一步分成两大类．一类不能被分割为中间只用一条内粒子线联系起来的两个部分，例如图2.5.1中的两个图，这一类型的图被称为“本质图形”．另一类则可以被分割成仅用一条内粒子线连接起来的两个部分，例如图2.5.2，这类图被称为“非本质图形”.

如果把所有n阶本质图形中去掉首尾格林函数线G（0）后的部分之和记作Σ（n），则由（2.5.22）式格林函数G可写作

即

其中

是所有各阶本质图形对应的自能项的总和．方程（2.5.26）和（2.5.27）被称为Dyson方程，它和格林函数的运动方程（2.4.17）式等效．但是现在可以利用费曼图来理解自能Σ的结构并系统地进行计算．

这种分析格林函数的方法也可以应用于分析互作用线．例如，可以把简单相互作用换成图2.5.3所示包括各阶的V（1），其代数方程形式为

其中Π（1）是图2.5.3中由两根粒子线构成的圈图对应的表达式，被称为“极化”函数．如果以V（1）代替V，代入一阶格林函数的图形如图2.5.1所示，则可以看出，许多更高阶的图形将自动被包括在内．所以，从作用线的角度考虑无穷级数的部分求和，也是一个很重要的简化计算方法．

对于相互作用的图形，也可以定义本质图形和非本质图形，它们的区别在于是否可以分成中间只用一根互作用线连接起来的两部分．例如图2.5.3中的第二图是一种最简单的本质图形，而图2.5.3中的第三图是通过中间的作用线连接起来的两个部分，因而是非本质图形．当然相互作用的本质图形很多，也可以类似（2.5.27）式那样，把经过各种极化修正的势场写为Vs，得

其中

Π（n）是所有第n阶本质极化图形之和，而Πp是所有本质极化图形之和．如果把（2.5.30）式与§1.2的（1.2.12）式相比，就可以看到它的物理意义，（1-VΠp）相当于一个动态的介电函数ε，通常称为介电函数算符．如果近似地假设Πp≈Π（1），就是常用的无规相位（RPA）近似，§2.8将比较详细地进行讨论．

方程（2.5.30）还可以写成另一种形式

其中的Π被称为极化插入部，它包含了各种本质与非本质的极化图形之和．与（2.5.30）式相比，可以将Π写成

Πp被称为“正规极化”，这类有四个端点的图形集合体也称为“顶角部分”（vortex）.