1.3 精密机械零件的受力平衡

1.3.1 共线力的平衡

一个力系作用于物体不发生任何外效应，则受此力系作用的物体处于平衡状态。对于一个物体来说，要想处于平衡状态，除了使物体不能有任何方向的移动外，还必须使物体绕任意一点都不能转动。所以物体受力的平衡条件必须满足：力系中各力沿任一方向的分力的代数和应等于零；力系中各力对于任意一点（或轴）的力矩的代数和应等于零。

最简单的平衡状态是物体在两个力作用下的平衡。根据二力平衡定律，若两个力使物体平衡，此二力必须大小相等、方向相反，作用在同一直线上，如图1-16所示。其平衡方程式为∑F=0，或各力对力的作用线以外任意一点 A 的力矩的代数和等于零，即∑MA(F)=0。满足以上两个平衡方程式之中的任何一个，都能保证力系的平衡。显然，此平衡条件可推广应用于共线力系中任意一个力作用下物体的平衡。故共线力系的平衡只有一个独立平衡方程式。

1.3.2 平面力系的平衡

对于平面力系，假如在一个平面中某一物体受到不共线的3个力的作用，如图1-17所示，要使得物体平衡，其中两个力的合力必须与第3个力的大小相等、方向相反。也就是3个力的合力为零。由此可知，在平面力系中，不论多少个力作用于物体，使物体平衡的必要条件是各力的矢量和为零，即∑F=0，或者各力在平面坐标系x、y两轴上投影的代数和均等于零，即∑Fx=0，∑Fy=0。

但力系仅满足合力等于零的条件，还不一定能使物体处于平衡。假如当3 个力作用于物体时，两个力的合力与第3 个力大小相等、方向相反，但不共线，会形成一个力偶。即对力的作用线以外任一点（或轴）的力矩和不等于零，即存在一个力偶矩。这时物体仍可产生转动效应而不能平衡。故平面力系中除了必须满足在平面坐标系x、y两轴上投影的代数和均等于零外，还应具备物体平衡的充分条件，即必须满足各力对平面内任意一点 O的力矩和也等于零，即 ∑MO(F)=0，故平面力系平衡的代数条件为：

∑Fx= 0

∑Fy= 0

∑MO (F)=0

1.3.3 空间力系的平衡

对于空间的力系而言，由于各力的作用并不在同一个平面内，如图1-18所示。如仅满足上述平面力系中的3个平衡方程式，并不能保证物体平衡。物体仍然可以沿着z轴移动与转动。由此可知，要使空间力系作用下的物体平衡，必须使物体在3 个相互垂直的轴线方向都没移动，同时还必须使物体绕Ox、Oy、Oz3个轴都没有转动。为此，必须相应地具有6个平衡条件，即各力在x、y、z三轴方向投影的代数和等于零，绕Ox、Oy、Oz三轴的力矩和等于零，由此得出空间力系的代数条件为：∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0，∑Mx(F)=0，∑My(F)=0，∑Mz(F)=0。

而对于空间上的共点力系，只要各力在相互垂直的三轴上投影的代数和均为零，则各力必互成平衡。即空间共点力系的3个平衡方程式为：

∑Fx= 0，∑Fy=0，∑Fz=0

而对于空间上的平行力系，只要各力（沿与其平行的轴线方向，如z轴方向）的代数和等于零，且各力对于与其不相平行的两轴的力矩和均为零，则此力系必成平衡。即空间平行力系的3个平衡方程为：

∑Fz= 0，∑Mx(F)=0，∑My(F)=0

对于平面力系和空间力系，在建立平衡方程时，若能将分解分力的方向与力矩中心（或轴）的位置适当选择，使所得到的每个平衡方程式都只含有一个未知量，则无须联立求解，计算工作量可以大为简化。若在平面一般力系的静力方程式中，则具有3 个未知量。若能选择两个未知力的交点作为矩心，则写出一个力矩方程式后，此方程式中就仅能包含一个未知力，无须联立即可解出此未知力与已知力的关系。

例1-3 重量W = 10000 N的车辆停放在与水平面成α=30 °的斜坡上，并用平行于斜面的绳子拉住，如图1-19所示。设a = 0.75 m，b = 0.3 m，h = 0.7 m，并设斜坡是光滑的，求绳子的拉力和斜坡面对车轮的反力。

解：以车作为考察对象，做出受力图。选投影轴x、y分别平行和垂直斜坡面。

先以拉力T与反力NA作用线的交点H为矩心，并将W分解为Wx、Wy两分力。求各力对H点力矩的代数和∑MH(F)=0，得：

-Wxb-Wya+NB ·2a=0

其中，

Wx=W sin α，Wy=W cos α，解得：

由Fx= 0得Wx - T = 0，解得：

T=Wsinα=5000(N)

由Fy = 0得NA + NB - Wy = 0，解得：

NA=W cos α-NB=3330(N)

例1-4 设有一水平构件 AB，用固定铰链支座及软绳与墙壁连接，AB 上作用着负荷P1=40 N，P2=100 N，构件自重忽略不计，如图1-20（a）所示。求绳内拉力T及A点铰链作用于构件的反力R。

解：取构件AB作为研究对象，画其受力图，如图1-20（b）所示。力系中有3个未知量，分别是T、R与θ，应用3个平衡方程式，得：

式（3）除以式（2）得θ=14°35′。

将θ值代入式（2）可得R=173 N。

例1-5 一重物悬挂如图1-21（a）所示，已知W = 1800 N，其他重量不计。试求A、C两处铰链的约束反力。

解：（1）取整体为研究对象。

（2）画出整体受力图，如图1-21（b）所示。作用在整体上的力有：重力W，绳索拉力FT（FT = W），铰链C的反力FC（BC为二力杆，故反力FC作用线沿BC方向），以及铰链A的反力FAx、FAy，它们构成平面一般力系。

（3）取坐标系Axy，分别以A与B为矩心，列平衡方程：

∑Fx= 0，FAx-FT-FC cos 45°=0

∑MA (F)=0，FC sin 45°×0.6 m-W ×0.3 m+FT ×0.1m=0

∑MB (F)=0，-FAy×0.6m+W ×0.3m+FT ×0.1m=0

（4）求解平衡方程，得：

FAx=2.4 kN，F A y=1.2 kN，FC=0.85 kN

由于矩心往往取在未知力的交点，所以在计算某些问题时，采用力矩式比投影式简便。但必须注意，无论是二力矩还是三力矩式的平衡方程，都有其成立的条件。如在此例中，若选取与AB连线垂直的y轴作为投影轴，得到的投影方程实际是两个力矩方程的线形组合，并不是所需要的独立方程。

例1-6 夹紧装置如图1-22所示。设各处接触均为光滑接触，求在力P作用下工件受到的夹紧力。

解：取A、B块和杆AB组成的系统作为研究对象，画受力图。各光滑约束处的反力均为压力。NC是工件 C 作为约束的反力，工件所受到的压力NC′ =NC，因此，需要求的是NC。列平衡方程得到：

∑Fy=NB-P= 0?NB=P

∑M A(F)=NB · AB cos α-NC · AB sin α=0

可得：

NC=Pcot α

可见，α越小，夹紧力越大。

讨论1 若矩心取在NA、NB未知力交点O，则由力矩方程直接可得：

∑M o(F)=P · AB cos α-NC · AB sin α=0?NC=P cot α

讨论2 若分别取A、B两滑块为研究对象，受力如图1-22（b）所示。分别列平衡方程，有：

N AB sin α-P=0?N AB=P/sin α

NABcos α-NC=0?NC=N AB cos α=P cot α